Se x cdot e^x=integral0^x f(t) d t, determine f(ln 2).
R: 2+ln (4)

Passo 1

Temos a equação dada
xcdot e^x = integral0^x f(t),dt
O conteúdo envolve derivar uma integral dependente do limite superior (Teorema Fundamental do Cálculo) e uso da regra do produto.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • No lado esquerdo usamos regra do produto:
ddxl(x,e^xr) = e^x + x,e^x
  • No lado direito, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:
ddxintegral0^x f(t),dt = f(x)
Igualando as derivadas, temos
f(x) = e^x + x,e^x = (x+1)e^x

Passo 3

Para encontrar f(ln 2), substituímos x = ln 2:
f(ln 2) = (ln 2 + 1)e^ln 2 = (ln 2 + 1)cdot 2 = 2ln 2 + 2
Podemos reescrever 2ln 2 = ln(2^2) = ln 4, logo
final_answer]= final_answer":“2 + \ln(4)”
final_answer

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