Calcule z1 z2 e z1z2, sabendo que:
z1=2 (cos pi8+i sen pi8) ; z2=4 e^i 3 pi8

Passo 1

O exercício pede para calcular os produtos e quocientes dos números complexos dados em forma polar/exponencial. O conteúdo envolve propriedades de multiplicação e divisão de números complexos em forma r(costheta+isintheta) ou re^itheta: multiplicar (ou dividir) módulos e somar (ou subtrair) argumentos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as formas dadas:
z1=2l(costfracpi8+isintfracpi8r) = 2,cisl(tfracpi8r), z2=4e^i3pi8 = 4,cisl(tfrac3pi8r)

Passo 3

Para calcular z1z2, usamos: módulo =2times4=8 e argumento =tfracpi8+tfrac3pi8=tfracpi2. Assim,
z1z2=8,cisl(tfracpi2r)=8l(costfracpi2+isintfracpi2r)=8i

Passo 4

Para calcular tfracz1z2, usamos: módulo =tfrac24=tfrac12 e argumento =tfracpi8-tfrac3pi8=-tfracpi4. Logo,
z1z2=tfrac12,cisl(-tfracpi4r)=tfrac12l(cos(-tfracpi4)+isin(-tfracpi4)r)

Passo 5

Convertendo para a forma a+bi: cos(-tfracpi4)=tfracraiz22, sin(-tfracpi4)=-tfracraiz22, então
z1z2=tfrac12l(tfracraiz22-itfracraiz22r)=raiz24-iraiz24

Resposta

z1z2=8i, z1z2=raiz24-iraiz24.

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