Determine a família de primitivas para cada função:
integral cossec^2(x)1+cot g(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas da função f(x)=csc^2(x)1+cot(x). Aqui o conteúdo principal é integração por substituição, sabendo que a derivada de cot(x) é -csc^2(x).

Passo 2

Vamos definir a substituição u=cot(x). Então calculamos a diferencial:
du=ddx(cot(x)),dx = -csc^2(x),dx Longrightarrow csc^2(x),dx = -du

Passo 3

Substituindo em integralcsc^2(x)1+cot(x),dx, obtemos:
integral csc^2(x)1 + cot(x),dx = integral -du1+u = -integraldu1+u

Passo 4

Agora basta integrar -integral11+u,du, que é um logaritmo natural:
-integraldu1+u = -lnl|1+ur| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x usando u=cot(x).

Resposta

-\ln\bigl|1+\cot(x)\bigr| + C

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