\cdots 21 É possível remover energia, na forma de calor, de água à temperatura de congelamento \left(0,0^{\circ} \mathrm{C}\right. à pressão atmosférica), ou mesmo abaixo dessa temperatura, sem que a água congele; quando isso acontece, dizemos que a água está super-resfriada. Suponha que uma gota d’água de 1,00 \mathrm{~g} seja superresfriada até que a temperatura seja a mesma do ar nas vizinhanças, 25,00^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, a gota congela bruscamente, transferindo energia para o ar na forma de calor. Qual é a variação da entropia da gota? (Sugestão: Use um processo reversível de três estágios, como se a gota passasse pelo ponto normal de congelamento.) O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S de uma gota de água de massa m=1{,}00\;\mathrm{g}=0{,}001\;\mathrm{kg} que está super-resfriada até T_i=-25{,}00{}^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_i=248{,}15\;\mathrm{K}) e então congela bruscamente ao redor de 0{}^\circ\mathrm{C}. O conteúdo físico é termodinâmica: cálculo de entropia via processos reversíveis. Vamos usar um caminho reversível em três etapas imaginárias:
  1. Aquecer reversivelmente a água líquida de T_i até T_f=0{}^\circ\mathrm{C}=273{,}15\;\mathrm{K}.
  2. Congelar reversivelmente à temperatura constante T_f.
  3. Resfriar o gelo de 273{,}15\;\mathrm{K} de volta até 248{,}15\;\mathrm{K}.

Passo 2

Na etapa 1, a água líquida é aquecida de T_i a T_f. A variação de entropia é
\Delta S_1 = m\,c_{\ell}\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{T_i}\bigr),
onde tomamos o calor específico da água líquida c_{\ell}=4186\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}. Substituindo m=0{,}001\;\mathrm{kg}, T_f=273{,}15\;\mathrm{K} e T_i=248{,}15\;\mathrm{K}:
\Delta S_1 = 0{,}001\times4186\times\ln\!\bigl(\tfrac{273{,}15}{248{,}15}\bigr) \approx4{,}186\times0{,}0962 =0{,}402\;\mathrm{J/K}.

Passo 3

Na etapa 2, a água congela reversivelmente a T_f. A variação de entropia é
\Delta S_2 = -\frac{m\,L}{T_f},
com L calor latente de fusão da água ( L=3,34\times10^5\;\mathrm{J/kg}). Logo,
\Delta S_2 = -\frac{0{,}001\times3{,}34\times10^5}{273{,}15} =-\frac{334}{273{,}15} \approx-1{,}223\;\mathrm{J/K}.

Passo 4

Na etapa 3, o gelo resfria de 273{,}15\;\mathrm{K} até 248{,}15\;\mathrm{K}. Usamos
\Delta S_3 = m\,c_{\mathrm{ice}}\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_\text{final}}{T_f}\bigr),
com c_{\mathrm{ice}}=2220\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}. Assim,
\Delta S_3 = 0{,}001\times2220\times\ln\!\bigl(\tfrac{248{,}15}{273{,}15}\bigr) =2{,}22\times(-0{,}0959) \approx-0{,}213\;\mathrm{J/K}.

Passo 5

Somando as três contribuições:
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 =0{,}402 -1{,}223 -0{,}213 \approx-1{,}034\;\mathrm{J/K}.

Resposta

A variação de entropia da gota é aproximadamente -1{,}03\;\mathrm{J/K}.

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