(PROFMAT, 2015) Se
e
são números reais positivos distintos,
e
, é correto afirmar que:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números reais positivos distintos e define três médias:
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(E) apresenta a ordem correta entre
? Ou seja, determinar qual desigualdade entre
,
e
é verdadeira.
Passo 2
Mostrar que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, isto é
.
Explicação e prova passo a passo:
- Para quaisquer
vale . Aplicando isso a (isso faz sentido porque então são reais), obtemos
- Desenvolvendo o quadrado:
- Rearranjando:
- Dividindo por
(positivo) dá
ou seja
Comentário didático: a igualdade
ocorre exatamente quando
, isto é quando
. Como no enunciado
e
são distintos, aqui temos estritamente
.
Passo 3
Mostrar que a média geométrica é maior ou igual à média harmônica, isto é
.
Estratégia: aplicar a desigualdade já vista (média aritmética ≥ média geométrica) às inversas
e
, que também são positivas.
Prova passo a passo:
- Aplicando AM≥GM a
e obtemos
- O lado esquerdo simplifica:
- Então
- Multiplicando ambos os lados por
(positivo) resulta em
- Dividindo por
(positivo) vem
Ou seja
Comentário didático: novamente a igualdade
ocorre quando
, isto é
. Como
, a desigualdade é estrita:
.
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores:
portanto
Como
e
são distintos, ambas as desigualdades são estritas, logo
Passo 5
Exemplo numérico rápido para intuição (opcional): tome
e
. Então
confirmando
.
Resposta
(A)