(PROFMAT, 2015) Se a e b são números reais positivos distintos, A=\frac{a+b}{2}, G=\sqrt{a b} e H=\frac{2 a b}{a+b}, é correto afirmar que:
(A) A>G>H.
(B) A>H>G.
(C) G>H>A.
(D) H>A>G.
(E) H>G>A.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números reais positivos distintos e define três médias:
A=\frac{a+b}{2},\qquad G=\sqrt{a b},\qquad H=\frac{2ab}{a+b}.
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(E) apresenta a ordem correta entre A,G,H? Ou seja, determinar qual desigualdade entre A, G e H é verdadeira.

Passo 2

Mostrar que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, isto é A\ge G.
Explicação e prova passo a passo:
  • Para quaisquer x\in\mathbb{R} vale x^2\ge0. Aplicando isso a x=\sqrt{a}-\sqrt{b} (isso faz sentido porque a,b>0 então \sqrt{a},\sqrt{b} são reais), obtemos
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0.
  • Desenvolvendo o quadrado:
a-2\sqrt{ab}+b\ge0.
  • Rearranjando:
a+b\ge 2\sqrt{ab}.
  • Dividindo por 2 (positivo) dá
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},
ou seja
A\ge G.
Comentário didático: a igualdade A=G ocorre exatamente quando \sqrt{a}-\sqrt{b}=0, isto é quando a=b. Como no enunciado a e b são distintos, aqui temos estritamente A>G.

Passo 3

Mostrar que a média geométrica é maior ou igual à média harmônica, isto é G\ge H.
Estratégia: aplicar a desigualdade já vista (média aritmética ≥ média geométrica) às inversas 1/a e 1/b, que também são positivas.
Prova passo a passo:
  • Aplicando AM≥GM a 1/a e 1/b obtemos
\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\ge\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}.
  • O lado esquerdo simplifica:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{2ab}.
  • Então
\frac{a+b}{2ab}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}.
  • Multiplicando ambos os lados por ab\sqrt{ab} (positivo) resulta em
\frac{a+b}{2}\sqrt{ab}\ge ab.
  • Dividindo por \frac{a+b}{2} (positivo) vem
\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}.
Ou seja
G\ge H.
Comentário didático: novamente a igualdade G=H ocorre quando 1/a=1/b, isto é a=b. Como a\neq b, a desigualdade é estrita: G>H.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores:
A\ge G\quad\text{e}\quad G\ge H,
portanto
A\ge G\ge H.
Como a e b são distintos, ambas as desigualdades são estritas, logo
A>G>H.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para intuição (opcional): tome a=1 e b=4. Então
A=\frac{1+4}{2}=2{,}5,\qquad G=\sqrt{1\cdot4}=2,\qquad H=\frac{2\cdot1\cdot4}{1+4}=1{,}6,
confirmando A>G>H.

Resposta

(A)

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