(Cefet-MG) O polinômio P(x) é divisível por x-3. Dividindo-se P(x) por x-1,obtém-se quociente Q(x) e resto 10. Nessas condições, o resto da divisão de Q(x) por x-3 vale
a) -5
b) -3
c) 0
d) 3
e) 5

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um polinômio $ P(x) $ que é divisível por $ x - 3 $. Além disso, quando dividimos $ P(x) $ por $ x - 1 $, obtemos um quociente $ Q(x) $ e um resto igual a 10. A pergunta é: qual é o resto da divisão de $ Q(x) $ por $ x - 3 $?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre divisibilidade de polinômios e o teorema do resto. O objetivo é encontrar esse resto final perguntado na questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Resto, que diz que se a gente divide um polinômio $ P(x) $ por $ x - a $, o resto dessa divisão é $ P(a) $. Então, se $ P(x) $ é divisível por $ x - 3 $, isso significa que o resto é zero quando dividimos por $ x - 3 $. Ou seja:
P(x)

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da questão. Quando dividimos $ P(x) $ por $ x - 1 $, obtemos o quociente $ Q(x) $ e um resto igual a 10. Usando o Teorema do Resto de novo, temos:
P(x)
Isso porque o resto da divisão por $ x - 1 $ é igual a $ P(1) $.

Passo 4

Sabemos que $ P(x) $ pode ser escrita de duas formas devido às divisões:
  1. Porque $ P(x) $ é divisível por $ x - 3 $:
P(x)
onde $ S(x) $ é outro polinômio.
  1. Porque ao dividir $ P(x) $ por $ x - 1 $, temos:
P(x)

Passo 5

Vamos usar a informação de que $ P(3) = 0 $. Substituindo $ x = 3 $ na segunda expressão que encontramos para $ P(x) $:
P(3) = 0
Simplificando:
x = 3

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar $ Q(3) $:
Q(3)

Passo 7

Agora, queremos o resto da divisão de $ Q(x) $ por $ x - 3 $. Novamente, aplicando o Teorema do Resto, o resto será $ Q(3) $. Como encontramos que $ Q(3) = -5 $, esse é o resto que buscamos.

Resposta

O resto da divisão de $ Q(x) $ por $ x - 3 $ vale -5.

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