(Fatec-SP) O polinômio , m in R^*, é divisível por (x+2)^2.
Então, p(x) também é divisível por
a) (x+2)^3
b) x^2+x-2
c) x^2+4
d) x^2+2 x
e) x^2-4
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que precisamos fazer. Temos um polinômio $ p(x) $ definido como o determinante de uma matriz 3x3:
p(x)
Nos foi dito que $ p(x) $ é divisível por $ (x+2)^{2} $. Nosso objetivo é descobrir por qual das alternativas fornecidas o polinômio $ p(x) $ também é divisível. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra polinomial, especificamente sobre determinantes e teoremas de divisibilidade como o Teorema do Resto e o Teorema da Fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz para encontrar uma expressão para $ p(x) $. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha:
p(x)
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Primeiro determinante:
|cc 1 & 2 -1 & x | = (1)(x) - (2)(-1) = x + 2
Segundo determinante:
|cc m & 2 0 & x | = (m)(x) - (2)(0) = m x
Terceiro determinante:
|cc m & 1 0 & -1 | = (m)(-1) - (1)(0) = -m
Passo 4
Substituindo esses valores de volta na expressão de $ p(x) $:
p(x)
Passo 5
Sabemos que $ p(x) $ é divisível por $ (x+2)^{2} $. Isso significa que $ (x+2) $ é uma raiz dupla de $ p(x) $, ou seja, $ p(-2) = 0 $ e $ p’(-2) = 0 $, onde $ p’(x) $ é a derivada de $ p(x) $.
Vamos calcular $ p(-2) $:
p(x)
Para que $ p(-2) = 0 $:
(x+2)^2
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada $ p’(x) $:
p'(x)
Substituindo $ x = -2 $:
p'(x) = ddx(x^3 + 2x^2 + m x + 32 m^-1) = 3x^2 + 4x + m
Para que $ p’(-2) = 0 $:
x = -2
Portanto, $ m = -4 $ é o valor que satisfaz as condições dadas.
Passo 7
Com $ m = -4 $, vamos reescrever o polinômio $ p(x) $:
m = -4
Agora, sabemos que $ p(x) $ é divisível por $ (x+2)^{2} $. Vamos fatorar $ p(x) $:
Sabemos que $ p(x) $ é divisível por $ (x+2)^{2} $, então precisamos que $ (x+2) $ seja um fator duplo:
p(x)
Passo 8
Agora, vamos analisar as opções para ver qual delas divide $ p(x) $:
a) $ (x+2)^{3} $ – Não, pois $ p(x) $ tem apenas $ (x+2)^{2} $.
b) $ x^{2} + x -2 $ – Vamos fatorar:
p(x)
Como $ p(x) = (x+2)^{2}(x-2) $, vemos que $ (x+2)(x-1) $ não divide completamente $ p(x) $.
c) $ x^{2} +4 $ – Não está entre os fatores de $ p(x) $.
d) $ x^{2} +2x $ – Pode ser fatorado como $ x(x+2) $, que divide $ p(x) $.
e) $ x^{2} -4 $ – Pode ser fatorado como $ (x+2)(x-2) $, que divide $ p(x) $.
Passo 9
Comparando as opções, vemos que tanto a opção d) quanto a opção e) são divisores de $ p(x) $. Porém, a opção e) $ x^{2} -4 $ já está completamente fatorada em $ (x+2)(x-2) $, que são exatamente os fatores de $ p(x) $.