(Secr. da Administração do Est. da Bahia) Jader tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo pelo menos uma de cada valor. Se
é o total de cédulas que ele possui, quantos são os possíveis valores de
?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado pede: Jader tem R$ 14,00 em cédulas de 1, 2 e 5 reais, com pelo menos uma de cada. Precisamos achar todos os possíveis valores de X = número total de cédulas.
Passo 2
Modelando a situação, seja n₁, n₂ e n₅ as quantidades de cédulas de 1, 2 e 5 reais, respectivamente. Como ele tem pelo menos uma de cada, impomos n₁ ≥ 1, n₂ ≥ 1, n₅ ≥ 1. A soma do valor é dada pela equação diophantina
Passo 3
Para cada solução (n₁,n₂,n₅) vamos calcular X = n₁ + n₂ + n₅ e depois contar quantos valores distintos X podem assumir.
Passo 4
Como 5n₅ ≤ 14, o único n₅ viável são 1 ou 2. Vamos examinar cada caso:
Para n₅ = 1, a equação vira n₁ + 2n₂ = 9, com n₁≥1, n₂≥1. Variando n₂ de 1 a 4 (pois 2·5>9 não serve), obtemos: n₂=1 → n₁=7 → X=7+1+1=9; n₂=2 → n₁=5 → X=5+2+1=8; n₂=3 → n₁=3 → X=3+3+1=7; n₂=4 → n₁=1 → X=1+4+1=6.
Para n₅ = 1, a equação vira n₁ + 2n₂ = 9, com n₁≥1, n₂≥1. Variando n₂ de 1 a 4 (pois 2·5>9 não serve), obtemos: n₂=1 → n₁=7 → X=7+1+1=9; n₂=2 → n₁=5 → X=5+2+1=8; n₂=3 → n₁=3 → X=3+3+1=7; n₂=4 → n₁=1 → X=1+4+1=6.
Passo 5
Para n₅ = 2, a equação vira n₁ + 2n₂ = 4, com n₁≥1, n₂≥1. O único n₂ possível é 1 (pois 2·2=4 daria n₁=0 inválido), logo n₂=1 → n₁=2 → X=2+1+2=5.
Passo 6
Os valores de X obtidos são {5,6,7,8,9}. Como queremos quantos valores distintos X pode assumir, a resposta é 5.
Resposta
5