(CEFET - PR) Se A, B e C são matrizes do tipo 2 \times 3,3 \times 1 e 1 \times 4, respectivamente, então o produto A \cdot B \cdot C
(a) É matriz do tipo 4 \times 2.
(b) É matriz do tipo 2 \times 4.
(c) É matriz do tipo 3 \times 4.
(d) É matriz do tipo 4 \times 3.
(e) Não é definido.

Passo 1

O enunciado dá as dimensões das matrizes e pede o tipo (dimensão) do produto A\cdot B\cdot C. Informações fornecidas:
  • A é uma matriz de tipo \,2\times3.
  • B é uma matriz de tipo \,3\times1.
  • C é uma matriz de tipo \,1\times4.
Pergunta: qual é a dimensão da matriz resultante de A\cdot B\cdot C, entre as alternativas (a) a (e)?

Passo 2

Regra fundamental (como usar na prova): se X é uma matriz \,m\times n e Y é uma matriz \,n\times p, então o produto XY é definido e é uma matriz de tipo \,m\times p. A razão é que para formar cada elemento (XY)_{ij} faz-se a soma de n produtos:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}X_{ik}\,Y_{kj}.
Portanto, o número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segunda; o tamanho final fica com as linhas da primeira e as colunas da segunda.

Passo 3

Vou aplicar a regra fazendo primeiro B\cdot C. As dimensões são:
B:\;3\times1,\qquad C:\;1\times4.
O número de colunas de B ( 1) é igual ao número de linhas de C ( 1), então B\cdot C é definido. Pelo formato da regra, B\cdot C terá dimensão \,3\times4. Em termos de elementos:
(B C)_{ij}=\sum_{k=1}^{1}B_{ik}\,C_{kj}=B_{i1}\,C_{1j},
ou seja, cada elemento é um produto simples entre entrada de B e entrada de C.
Agora multiplico A pelo resultado B C. As dimensões agora são:
A:\;2\times3,\qquad B C:\;3\times4.
O número de colunas de A ( 3) coincide com o número de linhas de B C ( 3), logo A\cdot(BC) é definido e terá dimensão \,2\times4.

Passo 4

Para reforçar (e porque na prova às vezes é mais natural fazer na outra ordem), faço na ordem (A\cdot B)\cdot C. Primeiro:
A:\;2\times3,\qquad B:\;3\times1,
logo A\cdot B é definido e tem dimensão \,2\times1. Seu elemento genérico é
(AB)_{i1}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\,B_{k1}.
Em seguida multiplica-se (A B) por C:
AB:\;2\times1,\qquad C:\;1\times4,
o número de colunas de AB ( 1) é igual ao número de linhas de C ( 1), então (AB)C é definido e tem dimensão \,2\times4. O elemento genérico é
((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{1}(AB)_{ik}\,C_{kj}=(AB)_{i1}\,C_{1j}.

Passo 5

Resumo didático e confiante: tanto calculando A\cdot(B C) quanto (A B)\cdot C obtemos uma matriz de dimensão \,2\times4. Ou seja, o produto A\cdot B\cdot C é definido e resulta numa matriz com 2 linhas e 4 colunas.

Resposta

(b)

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