Uma célula de forma esférica com volume
tem uma área externa
.
a) Expresse
em função de
.
b) Se duplicamos
, qual a variação(aumento) em
?
c) Se duplicamos
, qual a variação (aumento) em
?
a) Expresse
b) Se duplicamos
c) Se duplicamos
Passo 1
O enunciado dá uma célula esférica com volume
e área externa
e pede três coisas:
- (a) Expressar
em função de . - (b) Se duplicamos
(ou seja, passamos de para ), qual é a variação (aumento) em ? - (c) Se duplicamos
(ou seja, passamos de para ), qual é a variação (aumento) em ?
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
- A célula é esférica, então podemos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera.
- Não há outras condições (por exemplo, material ou restrições) — só a relação geométrica entre
, e o raio .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as fórmulas básicas para uma esfera (isso é o que precisamos aprender para a prova).
Fórmulas (para uma esfera de raio
):
Explicando cada símbolo:
-
é o raio da esfera (distância do centro à superfície). -
é a área da superfície externa. -
é o volume interno. -
é a constante matemática usual (aprox. ).
Essas fórmulas são padrão: a área vem de integrar
ao longo do círculo gerado (ou derivada do volume), e o volume vem de integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo — não precisamos derivar aqui, basta saber aplicá-las.
Passo 3
(a) Expressar
em função de
.
Passo intermediário: isolar
a partir da fórmula da área.
Logo
e tomando raiz positiva (raio é positivo),
Agora substituímos esse
na fórmula do volume:
Simplificamos passo a passo:
Então
Agora fatoramos potências:
Mas
. Então
Simplificando coeficientes:
Portanto
Essa é a expressão pedida:
em função de
.
Passo 4
Antes de responder (b) e (c) vamos também inverter a relação para ter
em função de
— isso facilita o item (b).
Partimos de
Isolando
:
Agora elevamos ambos os lados à potência
para achar
:
Essa fórmula dá
em função de
e será usada no item (b).
Passo 5
(b) Se duplicamos
(isto é,
), qual o aumento em
?
Usamos a fórmula
.
Substituindo :
Substituindo
Como
, temos
Mas
. Assim
A variação (aumento absoluto) em
é
A variação percentual (aumento relativo) é
Para ter uma ideia numérica:
, então
Passo 6
(c) Se duplicamos
(isto é,
), qual o aumento em
?
Usamos a relação direta que encontramos no Passo 3:
Substituindo
:
Como
, obtemos
A variação (aumento absoluto) em
é
A variação percentual é
Num valor aproximado:
, então
Resposta
(a)
(b) Ao duplicar
:
, então
(aumento de
).
(c) Ao duplicar
:
, então
(aumento de
).