Uma célula de forma esférica com volume V tem uma área externa A.
a) Expresse V em função de A.
b) Se duplicamos V, qual a variação(aumento) em A ?
c) Se duplicamos A, qual a variação (aumento) em V ?

Passo 1

O enunciado dá uma célula esférica com volume \,V\, e área externa \,A\, e pede três coisas:
  • (a) Expressar \,V\, em função de \,A.
  • (b) Se duplicamos \,V (ou seja, passamos de \,V para \,2V), qual é a variação (aumento) em \,A?
  • (c) Se duplicamos \,A (ou seja, passamos de \,A para \,2A), qual é a variação (aumento) em \,V?
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • A célula é esférica, então podemos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera.
  • Não há outras condições (por exemplo, material ou restrições) — só a relação geométrica entre \,V, \,A e o raio \,r.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas básicas para uma esfera (isso é o que precisamos aprender para a prova).
Fórmulas (para uma esfera de raio \,r\,):
A = 4\pi r^{2}
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}
Explicando cada símbolo:
  • \,r\, é o raio da esfera (distância do centro à superfície).
  • \,A\, é a área da superfície externa.
  • \,V\, é o volume interno.
  • \pi é a constante matemática usual (aprox. 3,14159\ldots).
Essas fórmulas são padrão: a área vem de integrar 2\pi r ao longo do círculo gerado (ou derivada do volume), e o volume vem de integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo — não precisamos derivar aqui, basta saber aplicá-las.

Passo 3

(a) Expressar \,V\, em função de \,A.
Passo intermediário: isolar \,r\, a partir da fórmula da área.
A = 4\pi r^{2}
Logo
r^{2} = \frac{A}{4\pi}
e tomando raiz positiva (raio é positivo),
r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}.
Agora substituímos esse r na fórmula do volume:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}
V = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{A}{4\pi}}\right)^{3}.
Simplificamos passo a passo:
\left(\sqrt{\frac{A}{4\pi}}\right)^{3} = \left(\frac{A}{4\pi}\right)^{3/2}.
Então
V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{A}{4\pi}\right)^{3/2}.
Agora fatoramos potências:
\left(4\pi\right)^{3/2} = 4^{3/2}\,\pi^{3/2}.
Mas 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Então
V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{A^{3/2}}{8\,\pi^{3/2}}.
Simplificando coeficientes:
\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{6}, \qquad \frac{\pi}{\pi^{3/2}}=\pi^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}.
Portanto
V = \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\,A^{3/2}.
Essa é a expressão pedida: \,V em função de \,A.

Passo 4

Antes de responder (b) e (c) vamos também inverter a relação para ter \,A em função de \,V — isso facilita o item (b).
Partimos de
V = \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\,A^{3/2}.
Isolando A^{3/2}:
A^{3/2} = 6\sqrt{\pi}\;V.
Agora elevamos ambos os lados à potência 2/3 para achar A:
A = \bigl(6\sqrt{\pi}\;V\bigr)^{2/3}.
Essa fórmula dá A em função de V e será usada no item (b).

Passo 5

(b) Se duplicamos \,V (isto é, \,V' = 2V), qual o aumento em \,A?
Usamos a fórmula \,A = \bigl(6\sqrt{\pi}\;V\bigr)^{2/3}.
Substituindo \,V' = 2V:
A' = \bigl(6\sqrt{\pi}\,(2V)\bigr)^{2/3} = \bigl(2\cdot 6\sqrt{\pi}\;V\bigr)^{2/3}.
Como (kX)^{2/3}=k^{2/3}X^{2/3}, temos
A' = 2^{2/3}\,\bigl(6\sqrt{\pi}\;V\bigr)^{2/3}.
Mas \bigl(6\sqrt{\pi}\;V\bigr)^{2/3}=A. Assim
A' = 2^{2/3}\,A.
A variação (aumento absoluto) em \,A é
\Delta A = A' - A = \bigl(2^{2/3}-1\bigr)A.
A variação percentual (aumento relativo) é
\frac{\Delta A}{A}\times 100\% = \bigl(2^{2/3}-1\bigr)\times 100\%.
Para ter uma ideia numérica: 2^{2/3}\approx 1,587401, então
\Delta A \approx 0,587401\,A\quad\text{(ou seja, }\approx 58,74\%\text{ de aumento).}

Passo 6

(c) Se duplicamos \,A (isto é, \,A' = 2A), qual o aumento em \,V?
Usamos a relação direta que encontramos no Passo 3:
V = \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\,A^{3/2}.
Substituindo \,A' = 2A:
V' = \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\,(2A)^{3/2}.
Como (2A)^{3/2}=2^{3/2}A^{3/2}, obtemos
V' = 2^{3/2}\,\frac{1}{6\sqrt{\pi}}\,A^{3/2} = 2^{3/2}\,V.
A variação (aumento absoluto) em \,V é
\Delta V = V' - V = \bigl(2^{3/2}-1\bigr)V.
A variação percentual é
\frac{\Delta V}{V}\times 100\% = \bigl(2^{3/2}-1\bigr)\times 100\%.
Num valor aproximado: 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2,828427, então
\Delta V \approx 1,828427\,V\quad\text{(ou seja, }\approx 182,84\%\text{ de aumento).}

Resposta

(a) V=\dfrac{1}{6\sqrt{\pi}}\,A^{3/2}.
(b) Ao duplicar V: A' = 2^{2/3}A, então \Delta A=(2^{2/3}-1)A\approx 0,587401A (aumento de \approx 58,74\%).
(c) Ao duplicar A: V' = 2^{3/2}V, então \Delta V=(2^{3/2}-1)V\approx 1,828427V (aumento de \approx 182,84\%).

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