As dimensões lineares de um corpo de forma geométrica regular aumentam uniformemente, de modo que o volume aumenta 60 \%. Quanto aumentará sua superfície externa?

Passo 1

O enunciado diz que as dimensões lineares de um corpo aumentam uniformemente, e que, por isso, o volume do corpo aumenta 60\%. A pergunta é: quanto aumenta a sua superfície externa (em percentual)?\n
Informações dadas:
  • Aumento do volume: 60\%, isto é, novo volume =1,6 vezes o volume original.\n
    O que é pedido:
  • O aumento percentual da área da superfície externa.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável que simplify a ideia de “aumentar uniformemente as dimensões lineares”: seja k o fator pelo qual todas as medidas lineares (comprimentos, alturas, raios, etc.) são multiplicadas.
Explicação didática: se você pega um segmento qualquer e multiplica seu comprimento por k, então qualquer figura formada por esses comprimentos terá suas dimensões todas escaladas por k. É padrão na geometria que, quando se escala linearmente por k, áreas escalam por k^2 e volumes por k^3. Vou mostrar por que isso é verdade no próximo passo, com exemplos simples.

Passo 3

Justificativa das leis de escala (para você entender e conseguir aplicar na prova):\n
  • Área: pense num quadrado de lado L. A área original é L^2. Se o lado passa a ser kL, a nova área é (kL)^2 = k^2 L^2. Portanto a área é multiplicada por k^2.\n
  • Volume: pense num cubo de aresta L. O volume original é L^3. Se a aresta passa a ser kL, o novo volume é (kL)^3 = k^3 L^3. Portanto o volume é multiplicado por k^3.\n
    Essas razões valem para corpos geométricos regulares em geral: a dimensão linear entra uma vez no comprimento, duas vezes nas áreas, três vezes nos volumes.

Passo 4

Agora aplicamos ao problema: como o volume novo é 1,6 vezes o volume antigo, temos
k^3 = 1,6.
Logo
k = 1,6^{1/3}.

Passo 5

A superfície (área) será multiplicada por k^2. Portanto o fator de escala da área é
k^2 = \bigl(1,6^{1/3}\bigr)^2 = 1,6^{2/3}.
O aumento percentual da superfície é, então,
\bigl(1,6^{2/3}-1\bigr)\times 100\%.
Isto é a forma exata da resposta. Agora vamos obter um valor numérico aproximado, de modo que você possa escrever o resultado na prova.

Passo 6

Aproximação numérica sem depender só de logaritmos: vamos estimar k por tentativa simples. Testando valores próximos:
1,16^3 \approx 1,561 \quad\text{e}\quad 1,17^3 \approx 1,6006.
Vemos que 1,17^3 já é praticamente 1,6, então
k \approx 1,17.
Assim
k^2 \approx 1,17^2 = 1,3689.
O aumento relativo da área é aproximadamente 1,3689-1 = 0,3689, isto é 36{,}89\%. Arredondando razoavelmente (uma casa decimal), obtemos 36{,}8\%.

Resposta

36{,}8\%

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