As dimensões lineares de um corpo de forma geométrica regular aumentam uniformemente, de modo que o volume aumenta
. Quanto aumentará sua superfície externa?
Passo 1
O enunciado diz que as dimensões lineares de um corpo aumentam uniformemente, e que, por isso, o volume do corpo aumenta
. A pergunta é: quanto aumenta a sua superfície externa (em percentual)?\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Aumento do volume:
, isto é, novo volume vezes o volume original.\n
O que é pedido: - O aumento percentual da área da superfície externa.
Passo 2
Vamos introduzir uma variável que simplify a ideia de “aumentar uniformemente as dimensões lineares”: seja
o fator pelo qual todas as medidas lineares (comprimentos, alturas, raios, etc.) são multiplicadas.
Explicação didática: se você pega um segmento qualquer e multiplica seu comprimento por , então qualquer figura formada por esses comprimentos terá suas dimensões todas escaladas por
. É padrão na geometria que, quando se escala linearmente por
, áreas escalam por
e volumes por
. Vou mostrar por que isso é verdade no próximo passo, com exemplos simples.
Explicação didática: se você pega um segmento qualquer e multiplica seu comprimento por
Passo 3
Justificativa das leis de escala (para você entender e conseguir aplicar na prova):\n
- Área: pense num quadrado de lado
. A área original é . Se o lado passa a ser , a nova área é . Portanto a área é multiplicada por .\n - Volume: pense num cubo de aresta
. O volume original é . Se a aresta passa a ser , o novo volume é . Portanto o volume é multiplicado por .\n
Essas razões valem para corpos geométricos regulares em geral: a dimensão linear entra uma vez no comprimento, duas vezes nas áreas, três vezes nos volumes.
Passo 4
Agora aplicamos ao problema: como o volume novo é
vezes o volume antigo, temos
Logo
Passo 5
A superfície (área) será multiplicada por
. Portanto o fator de escala da área é
O aumento percentual da superfície é, então,
Isto é a forma exata da resposta. Agora vamos obter um valor numérico aproximado, de modo que você possa escrever o resultado na prova.
Passo 6
Aproximação numérica sem depender só de logaritmos: vamos estimar
por tentativa simples. Testando valores próximos:
Vemos que
já é praticamente
, então
Assim
O aumento relativo da área é aproximadamente
, isto é
. Arredondando razoavelmente (uma casa decimal), obtemos
.