Suponha que:
a) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em 10 \%. Qual seria o incremento de sua superfície, volume e peso?
b) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em 20 \%. Qual seria o incremento de sua superfície, volume e peso?
c) todas as dimensões lineares de um animal aumenta em f, onde f=l /. E para um aumento de 10 \%, f=1,1. Para um aumento de 20 \%, f=1,2, e assim por diante. Calcule o incremento de sua superfície, volume e peso em função de f.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
a) Se todas as dimensões lineares de um animal aumentam em 10\% (ou seja, o fator de escala é f=1,1), qual é o incremento percentual da sua superfície, do seu volume e do seu peso?
b) Se todas as dimensões lineares aumentam em 20\% (ou seja, f=1,2), qual é o incremento percentual da sua superfície, do seu volume e do seu peso?
c) Para um aumento geral nas dimensões lineares dado por um fator f (por exemplo f=1,1 para 10\%, f=1,2 para 20\%), determine o incremento percentual da superfície, do volume e do peso em função de f.
Informações relevantes fornecidas e assumidas:
  • O aumento nas dimensões lineares é uniforme em todas as direções (mesmo fator f aplicado a todas as medidas lineares).
  • Para os casos numéricos temos f=1,1 (10%) e f=1,2 (20%) — usei esses valores porque o enunciado os deu como exemplos.
  • Assumo que a densidade do animal permanece constante ao mudar de tamanho; com isso o peso varia na mesma proporção que o volume.
  • O que precisamos calcular são os incrementos percentuais, ou seja, \dfrac{\text{novo} - \text{antigo}}{\text{antigo}}\times 100\% para superfície, volume e peso.

Passo 2

Entendendo por que a superfície escala com o quadrado do fator linear (aula curta e direta).
  • Imagine uma superfície simples, como um retângulo com lados L_1 e L_2. A sua área original é
A = L_1 \cdot L_2.
  • Se cada dimensão linear cresce pelo fator f, os novos lados serão fL_1 e fL_2. A nova área será
A' = (fL_1)\cdot(fL_2) = f^2 \cdot L_1 L_2 = f^2 A.
  • Portanto, a área escala como f^2. O incremento percentual da superfície é
\frac{A'-A}{A}\times 100\% = (f^2-1)\times 100\%.
Explicação em palavras: duplicar o comprimento (fazer f=2) quadruplica a área, porque a área depende de duas dimensões lineares multiplicadas — por isso aparece o quadrado.

Passo 3

Aplicando a fórmula da superfície ao caso 10\% ( f=1,1).
  • Calcule f^2:
1,1^2 = 1,21.
  • Incremento percentual da superfície:
(1,21-1)\times 100\% = 0,21\times 100\% = 21\%.
Interpretação: um aumento linear de 10\% gera um aumento de superfície de 21\% — não é 10\%, porque a superfície envolve duas dimensões.

Passo 4

Aplicando a fórmula da superfície ao caso 20\% ( f=1,2).
  • Calcule f^2:
1,2^2 = 1,44.
  • Incremento percentual da superfície:
(1,44-1)\times 100\% = 0,44\times 100\% = 44\%.
Interpretação: aumento linear de 20\% gera aumento de superfície de 44\%.

Passo 5

Entendendo por que o volume (e, portanto, o peso) escala com o cubo do fator linear.
  • Pense num paralelepípedo com arestas L_1,L_2,L_3. O volume original é
V = L_1 L_2 L_3.
  • Com fator de escala f, as arestas ficam fL_1,fL_2,fL_3 e o novo volume é
V' = (fL_1)(fL_2)(fL_3) = f^3 L_1 L_2 L_3 = f^3 V.
  • Logo o volume escala como f^3. O incremento percentual do volume é
\frac{V'-V}{V}\times 100\% = (f^3-1)\times 100\%.
Raciocínio em palavras: como o volume depende de três dimensões multiplicadas, surge o cubo do fator.

Passo 6

Aplicando a fórmula do volume/peso ao caso 10\% ( f=1,1).
  • Calcule f^3:
1,1^3 = 1,1\cdot 1,1\cdot 1,1 = 1,331.
  • Incremento percentual do volume (e do peso, assumindo densidade constante):
(1,331-1)\times 100\% = 0,331\times 100\% = 33,1\%.
Interpretação: aumento linear de 10\% gera aumento de volume e peso de 33,1\%.

Passo 7

Aplicando a fórmula do volume/peso ao caso 20\% ( f=1,2).
  • Calcule f^3:
1,2^3 = 1,2\cdot 1,2\cdot 1,2 = 1,728.
  • Incremento percentual do volume (e do peso):
(1,728-1)\times 100\% = 0,728\times 100\% = 72,8\%.
Interpretação: aumento linear de 20\% gera aumento de volume e peso de 72,8\%.

Passo 8

Resumo e fórmula geral em função de f, com uma pequena dica para aproximações (útil na prova).
  • Superfície: novo valor é f^2 vezes o original, logo o incremento percentual é
\text{Incremento de superfície} = (f^2-1)\times 100\%.í
  • Volume: novo valor é f^3 vezes o original, logo o incremento percentual é
\text{Incremento de volume} = (f^3-1)\times 100\%.
  • Peso: supondo densidade constante, o peso escala como o volume, então
\text{Incremento de peso} = (f^3-1)\times 100\%.
Dica rápida de aproximação para incrementos pequenos: se f=1+p com p pequeno (por exemplo p=0,1 para 10\%), então
f^2-1 \approx 2p + p^2,\qquad f^3-1 \approx 3p + 3p^2 + p^3,
ou seja, para pequenas variações a área aumenta aproximadamente 2p (ou 2\times a porcentagem linear) e o volume aproximadamente 3p (ou 3\times a porcentagem linear), mas lembre-se de que há termos de ordem superior ( p^2,p^3) que causam a diferença exata (por isso 10\% vira 21\% e não exatamente 20\%).

Resposta

a) Superfície: 21\%
Volume: 33,1\%
Peso: 33,1\%
b) Superfície: 44\%
Volume: 72,8\%
Peso: 72,8\%
c) Superfície: (f^2-1)\times 100\%
Volume: (f^3-1)\times 100\%
Peso: (f^3-1)\times 100\%

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