Suponha que:
a) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em
. Qual seria o incremento de sua superfície, volume e peso?
b) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em
. Qual seria o incremento de sua superfície, volume e peso?
c) todas as dimensões lineares de um animal aumenta em
, onde
’
. E para um aumento de
. Para um aumento de
, e assim por diante. Calcule o incremento de sua superfície, volume e peso em função de
.
a) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em
b) todas as dimensões lineares de um animal incrementam em
c) todas as dimensões lineares de um animal aumenta em
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
a) Se todas as dimensões lineares de um animal aumentam em (ou seja, o fator de escala é
), qual é o incremento percentual da sua superfície, do seu volume e do seu peso?
b) Se todas as dimensões lineares aumentam em (ou seja,
), qual é o incremento percentual da sua superfície, do seu volume e do seu peso?
c) Para um aumento geral nas dimensões lineares dado por um fator (por exemplo
para
,
para
), determine o incremento percentual da superfície, do volume e do peso em função de
.
a) Se todas as dimensões lineares de um animal aumentam em
b) Se todas as dimensões lineares aumentam em
c) Para um aumento geral nas dimensões lineares dado por um fator
Informações relevantes fornecidas e assumidas:
- O aumento nas dimensões lineares é uniforme em todas as direções (mesmo fator
aplicado a todas as medidas lineares). - Para os casos numéricos temos
(10%) e (20%) — usei esses valores porque o enunciado os deu como exemplos. - Assumo que a densidade do animal permanece constante ao mudar de tamanho; com isso o peso varia na mesma proporção que o volume.
- O que precisamos calcular são os incrementos percentuais, ou seja,
para superfície, volume e peso.
Passo 2
Entendendo por que a superfície escala com o quadrado do fator linear (aula curta e direta).
- Imagine uma superfície simples, como um retângulo com lados
e . A sua área original é
- Se cada dimensão linear cresce pelo fator
, os novos lados serão e . A nova área será
- Portanto, a área escala como
. O incremento percentual da superfície é
Explicação em palavras: duplicar o comprimento (fazer
) quadruplica a área, porque a área depende de duas dimensões lineares multiplicadas — por isso aparece o quadrado.
Passo 3
Aplicando a fórmula da superfície ao caso
(
).
- Calcule
:
- Incremento percentual da superfície:
Interpretação: um aumento linear de
gera um aumento de superfície de
— não é
, porque a superfície envolve duas dimensões.
Passo 4
Aplicando a fórmula da superfície ao caso
(
).
- Calcule
:
- Incremento percentual da superfície:
Interpretação: aumento linear de
gera aumento de superfície de
.
Passo 5
Entendendo por que o volume (e, portanto, o peso) escala com o cubo do fator linear.
- Pense num paralelepípedo com arestas
. O volume original é
- Com fator de escala
, as arestas ficam e o novo volume é
- Logo o volume escala como
. O incremento percentual do volume é
Raciocínio em palavras: como o volume depende de três dimensões multiplicadas, surge o cubo do fator.
Passo 6
Aplicando a fórmula do volume/peso ao caso
(
).
- Calcule
:
- Incremento percentual do volume (e do peso, assumindo densidade constante):
Interpretação: aumento linear de
gera aumento de volume e peso de
.
Passo 7
Aplicando a fórmula do volume/peso ao caso
(
).
- Calcule
:
- Incremento percentual do volume (e do peso):
Interpretação: aumento linear de
gera aumento de volume e peso de
.
Passo 8
Resumo e fórmula geral em função de
, com uma pequena dica para aproximações (útil na prova).
- Superfície: novo valor é
vezes o original, logo o incremento percentual é
- Volume: novo valor é
vezes o original, logo o incremento percentual é
- Peso: supondo densidade constante, o peso escala como o volume, então
Dica rápida de aproximação para incrementos pequenos: se
com
pequeno (por exemplo
para
), então
ou seja, para pequenas variações a área aumenta aproximadamente
(ou
a porcentagem linear) e o volume aproximadamente
(ou
a porcentagem linear), mas lembre-se de que há termos de ordem superior (
) que causam a diferença exata (por isso
vira
e não exatamente
).
Resposta
a) Superfície:
Volume:
Peso:
Volume:
Peso:
b) Superfície:
Volume:
Peso:
Volume:
Peso:
c) Superfície:
Volume:
Peso:
Volume:
Peso: