1. (1,2) A célula unitária do cobre ( Cu ) é cúbica de face-centrada. O raio atômico do cobre é 0,128 \mathrm{~nm} (nanômetros). Calcule a densidade do cobre ( \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ). [Dado: Massa molar do cobre = 63,54 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; \mathrm{N}_{\mathrm{A}} \left.=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1} ; 1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}\right].
  • A estrutura do cobre é c.f.c., portanto, a célula unitária contém 4 átomos ( 8 * 1 / 8+6 * 1 / 2=4 )
  • Raio do átomo de cobre: r=0,128 \mathrm{~nm} \Rightarrow r=(0,128 \mathrm{~nm})\left(1,0 \times 10^{-7} \mathrm{~cm} / \mathrm{nm}\right) \Rightarrow \mathbf{r}=\mathbf{1 , 2 8} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{8}} \mathbf{~ c m}
  • Aresta (a) do cubo para o sistema c.f.c: a=\sqrt{8} r=\sqrt{8} x\left(1,28 x 10^{-8} c m\right) \Rightarrow \boldsymbol{a}=\mathbf{3}, \mathbf{6 2 x 1 0}^{-\mathbf{8}} \boldsymbol{c m}
\begin{gathered} V_{c e l}=a^{3}=\left(3,62 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}\right)^{3} \Rightarrow \boldsymbol{V}_{c e l}=\mathbf{4}, \mathbf{7 5} \boldsymbol{x} \mathbf{1 0}^{-23} \boldsymbol{c m}^{\mathbf{3}} \\ \text { Massa de cobre: } m_{C u}=\frac{(4 \text { átomos })(63,54 \mathrm{~g})}{\left(6,02 \times 10^{23} \text { átomos }\right)}=\mathbf{4}, \mathbf{2 2} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{-22} \boldsymbol{g} \text { de cobre } \\ \text { Densidade do cobre: } D_{C u}=\frac{m_{C u}}{V_{c e l}}=\frac{4,22 \times 10^{-22} \mathrm{~g}}{4,75 \times 10^{-23} \mathrm{~cm}^{3}} \Rightarrow \boldsymbol{D}_{C u}=\mathbf{8}, \mathbf{8 9} \mathbf{g} / \mathbf{c m}^{\mathbf{3}} \end{gathered}áá

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a densidade do cobre em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
Informações fornecidas no enunciado:
  • A estrutura cristalina do cobre é cúbica de face centrada (c.f.c.), portanto cada célula unitária contém 4 átomos (isso vem de 8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=4).
  • Raio atômico do cobre: r=0,128\\ \mathrm{nm}.
  • Massa molar do cobre: M=63,54\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.
  • Número de Avogadro: N_{\mathrm{A}}=6,02\times 10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Conversão de unidades: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}=1,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm}.
O que iremos calcular, em ordem:
  1. Converter r para centímetros.
  2. Determinar a aresta da célula unitária a para a rede c.f.c.
  3. Calcular o volume da célula V_{\mathrm{cel}}=a^{3}.
  4. Calcular a massa de cobre por célula unitária.
  5. Obter a densidade D=\dfrac{\text{massa da célula}}{V_{\mathrm{cel}}}é.

Passo 2

Converter o raio atômico para centímetros.
Explicação rápida do porquê: todas as unidades devem ficar coerentes para obter densidade em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}. Usamos a conversão dada 1\\ \mathrm{nm}=1,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm}.
Cálculo:
r = 0,128\\ \mathrm{nm}\times 1,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{nm} = 1,28\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Relacionar o raio atômico r com a aresta a da célula no sistema c.f.c. e calcular a.
A ideia geométrica: na estrutura c.f.c. os átomos se tocam ao longo da diagonal de uma face do cubo. A diagonal de face tem comprimento a\sqrt{2} e corresponde a 4r (quatro raios: um átomo no canto, meio átomo na face etc.), portanto
a\sqrt{2}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=\sqrt{8}\,r.
Agora calculamos:
a=\sqrt{8}\times 1,28\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Usando \sqrt{8}\approx 2,828427,
a \approx 3,62\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular o volume da célula unitária V_{\mathrm{cel}}=a^{3}.
Lembrete: o volume de um cubo de aresta a é a^{3}.
Cálculo:
V_{\mathrm{cel}} = \left(3,62\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}\right)^{3} \approx 4,75\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm}^{3}.
(Detalhe numérico: 3,62^{3}\approx 47,4 e (10^{-8})^{3}=10^{-24}, portanto 47,4\times 10^{-24}=4,74\times 10^{-23}; arredondei para 4,75\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm}^{3}.)

Passo 5

Calcular a massa de cobre contida em uma célula unitária.
Conceito usado: massa de um átomo = massa molar M dividida por N_{\mathrm{A}}. Como há 4 átomos por célula, a massa da célula é 4M/N_{\mathrm{A}}.
Cálculo:
m_{\mathrm{cel}}=\frac{4\times 63,54\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}}{6,02\times 10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}} = \frac{254,16\\ \mathrm{g}}{6,02\times 10^{23}} \approx 4,22\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular a densidade do cobre e interpretar o resultado.
Fórmula da densidade:
D=\frac{m_{\mathrm{cel}}}{V_{\mathrm{cel}}}.
Substituindo os valores obtidos:
D=\frac{4,22\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}}{4,75\times 10^{-23}\\ \mathrm{cm}^{3}} \approx 8,90\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
Interpretação breve e incentivo: obtivemos uma densidade próxima ao valor tabulado (por isso os números fazem sentido). Ótimo trabalho — mesmo que pareça muita conta, os passos são sempre os mesmos: converter unidades, usar a relação geométrica da rede, calcular volume, massa por célula e dividir.

Resposta

8,90\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}

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