Clientes chegam a uma pequena agência bancária segundo um processo de Poisson de taxa \lambda=0,3 clientes/minuto. A agência acomoda confortavelmente até cinco pessoas, mas nenhum cliente desiste de entrar ainda que a agência esteja superlotada. O atendimento é prestado por um único caixa, na ordem de chegada dos clientes em um tempo exponencialmente distribuido com média igual a 2 minutos.
a) Calcule o número médio de clientes na agência bancária.
b) Qual a probabilidade de o posto bancário estar vazio?
c) Qual o tempo que um cliente aguarda, em média, na fila?
d) Qual a probabilidade de o cliente precisar aguardar mais de 10 minutos na fila para ser atendido?
e) Qual o risco de ocorrer superlotação no posto?
f) Caso a demanda aumente em 50 \%, compare a nova taxa de ocupação com a anterior e verifique o que acontece como risco superlotação.

Passo 1

O que o enunciado nos dá (valores e perguntas):
  • Chegadas segundo um processo de Poisson com taxa \lambda = 0{,}3 clientes/minuto.
  • Um único caixa atende em ordem de chegada; os tempos de atendimento são exponenciais com média igual a 2 minutos.
  • A agência “acomoda confortavelmente até cinco pessoas”, mas não há desistência: fila e sistema têm capacidade ilimitada (ninguém é impedido de entrar).
    As perguntas:
    (a) Calcular o número médio de clientes na agência bancária.
    (b) Calcular a probabilidade de o posto bancário estar vazio.
    (c) Calcular o tempo médio que um cliente aguarda na fila.
    (d) Calcular a probabilidade de o cliente precisar aguardar mais de 10 minutos na fila.
    (e) Calcular o risco de ocorrer superlotação (mais do que 5 pessoas na agência).
    (f) Se a demanda aumentar 50\%, comparar a nova taxa de ocupação com a anterior e verificar o que acontece com o risco de superlotação.

Passo 2

Modelagem e parâmetros numéricos básicos (pegando dados do enunciado):
  • Tempo de serviço médio é 2 minutos, logo a taxa de serviço é
\mu = \frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{clientes/minuto}.
  • Já temos \lambda=0{,}3\\ \text{clientes/minuto}.
  • Defino a razão de utilização (taxa de ocupação)
\rho=\frac{\lambda}{\mu}.
Vou calcular \rho e usar fórmulas clássicas para um sistema com chegadas Poisson, serviço exponencial, um servidor e fila ilimitada (modelo usual M/M/1). Essas fórmulas são as que se aplicam quando chegadas e serviços têm exatamente essas propriedades (o enunciado deu isso).

Passo 3

Calcular a taxa de ocupação \rho e comentar estabilidade:
\rho=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6.
Comentário rápido sobre estabilidade: para existir regime estacionário (distribuições e médias constantes no tempo) precisa-se de \rho<1. Aqui \rho=0{,}6<1, portanto o sistema é estável e as fórmulas abaixo valem.

Passo 4

Distribuição estacionária do número de clientes no sistema e probabilidade de estar vazio:
  • Para M/M/1, a probabilidade de haver exatamente n clientes no sistema em regime estacionário é
P(N=n)=(1-\rho)\rho^{n},\quad n=0,1,2,\dots
  • Então a probabilidade de o sistema estar vazio (ou seja N=0) é
P_0=P(N=0)=1-\rho.
Substituindo \rho=0{,}6,
P_0 = 1-0{,}6 = 0{,}4.

Passo 5

Número médio de clientes no sistema (média total, fila + atendimento):
  • A média L=\mathbb{E}[N] para M/M/1 é (pode-se obter somando a série geométrica)
L=\frac{\rho}{1-\rho}.
Explicação rápida da fórmula (intuição e soma): se P(N=n)=(1-\rho)\rho^n, então
L=\sum_{n=0}^{\infty} n(1-\rho)\rho^n =(1-\rho)\cdot\frac{\rho}{(1-\rho)^2}=\frac{\rho}{1-\rho},
usando a soma da série geométrica e sua derivada. Substituindo \rho=0{,}6,
L=\frac{0{,}6}{1-0{,}6}=\frac{0{,}6}{0{,}4}=1{,}5.
Portanto, em média há 1{,}5 clientes na agência (na fila + em atendimento).

Passo 6

Média de clientes na fila e tempo médio de espera na fila (usando Little):
  • A média de clientes somente na fila (excluindo o que está sendo atendido) é
L_q = L - \rho = \frac{\rho}{1-\rho}-\rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}.
Substituindo \rho=0{,}6,
L_q=\frac{0{,}6^2}{1-0{,}6}=\frac{0{,}36}{0{,}4}=0{,}9.
  • A Lei de Little diz que para a fila (ou para o sistema) vale L=\lambda W, onde W é o tempo médio no sistema e, análogo, L_q=\lambda W_q, onde W_q é o tempo médio de espera na fila. Assim
W_q=\frac{L_q}{\lambda}.
Substituindo os valores,
W_q=\frac{0{,}9}{0{,}3}=3\\ \text{minutos}.
(Interpretação: o tempo médio aguardando na fila é 3 minutos. O tempo médio total no sistema W=L/\lambda=1{,}5/0{,}3=5 minutos, que também é igual a W_q+1/\mu=3+2=5.)

Passo 7

Probabilidade de aguardar mais de 10 minutos na fila:
  • Para M/M/1 a distribuição do tempo de espera na fila W_q tem a propriedade:
    com probabilidade 1-\rho o cliente não espera (chega e encontra servidor livre, espera zero); com probabilidade \rho o cliente encontra o servidor ocupado e o tempo de espera condicionado a isso é exponencial com parâmetro \mu-\lambda. Dessa forma a cauda é
P(W_q>t)=\rho\,e^{-(\mu-\lambda)t}.
Explicando: a memória de exponencial + comportamento de chegada faz com que, condicionalmente a esperar, a soma das cargas à frente resulte numa exposição com taxa \mu-\lambda.
  • Aqui \mu-\lambda=0{,}5-0{,}3=0{,}2 por minuto. Para t=10 minutos,
P(W_q>10)=0{,}6\cdot e^{-0{,}2\cdot 10}=0{,}6\cdot e^{-2}\approx 0{,}6\cdot 0{,}135335\approx 0{,}0812.

Passo 8

Risco de superlotação (probabilidade de haver mais de 5 pessoas na agência):
  • Superlotação definida como N>5. Usando a distribuição geométrica,
P(N>5)=1-\sum_{n=0}^{5}P(N=n)=1-(1-\rho)\sum_{n=0}^{5}\rho^n.
Mas (1-\rho)\sum_{n=0}^{5}\rho^n = 1-\rho^{6}. Então
P(N>5)=\rho^{6}.
Substituindo \rho=0{,}6,
P(N>5)=0{,}6^{6}=0{,}046656\\ (\approx 4{,}6656\%).

Passo 9

Aumento da demanda em 50\% (parte f): recalcular métricas e comparar
  • Nova taxa de chegada
\lambda' = 1{,}5\cdot 0{,}3 = 0{,}45\\ \text{clientes/minuto}.
  • Nova razão de ocupação
\rho'=\frac{\lambda'}{\mu}=\frac{0{,}45}{0{,}5}=0{,}9.
Comparação: a ocupação sobe de \rho=0{,}6 para \rho'=0{,}9 (aumentou bastante e está muito próxima de 1).
  • Novo risco de superlotação
P'(N>5)=(\rho')^{6}=0{,}9^{6}=0{,}531441\\ (\approx 53{,}14\%).
  • Outros números de interesse (para perceber o efeito prático): L'=\frac{\rho'}{1-\rho'}=\frac{0{,}9}{0{,}1}=9\\ \text{clientes no sistema (média)},é
L_q'=\frac{(\rho')^2}{1-\rho'}=\frac{0{,}81}{0{,}1}=8{,}1,
W_q'=\frac{L_q'}{\lambda'}=\frac{8{,}1}{0{,}45}=18\\ \text{minutos},
e a probabilidade de esperar mais de 10 minutos na fila passa a
P'(W_q>10)=\rho' e^{-(\mu-\lambda')10}=0{,}9\cdot e^{-0{,}05\cdot 10}=0{,}9\cdot e^{-0{,}5}\approx 0{,}546.
Interpretação: com aumento de 50\% na demanda a ocupação sobe muito (de 60\% para 90\%), o número médio no sistema salta de 1{,}5 para 9, o tempo médio de espera na fila cresce de 3 para 18 minutos, e o risco de superlotação passa de aproximadamente 4{,}7\% para mais de 53\%. Ou seja, mesmo permanecendo estável ( \rho'<1), o desempenho degrada fortemente e a probabilidade de ultrapassar a capacidade “confortável” de 5 pessoas aumenta muito.

Resposta

(a) 1{,}5 clientes (média no sistema).
(b) 0{,}4.
(c) 3 minutos (tempo médio de espera na fila).
(d) 0{,}6\;e^{-0{,}2\cdot 10}\approx 0{,}0812.
(e) 0{,}6^{6}=0{,}046656 (aprox. 4{,}6656\%).
(f) Nova taxa de ocupação \rho'=0{,}9 (antes \rho=0{,}6); risco de superlotação passa de 0{,}6^{6}\approx0{,}046656 para 0{,}9^{6}=0{,}531441 (aumenta fortemente).\n

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