Clientes chegam a uma pequena agência bancária segundo um processo de Poisson de taxa
clientes/minuto. A agência acomoda confortavelmente até cinco pessoas, mas nenhum cliente desiste de entrar ainda que a agência esteja superlotada. O atendimento é prestado por um único caixa, na ordem de chegada dos clientes em um tempo exponencialmente distribuido com média igual a 2 minutos.
a) Calcule o número médio de clientes na agência bancária.
b) Qual a probabilidade de o posto bancário estar vazio?
c) Qual o tempo que um cliente aguarda, em média, na fila?
d) Qual a probabilidade de o cliente precisar aguardar mais de 10 minutos na fila para ser atendido?
e) Qual o risco de ocorrer superlotação no posto?
f) Caso a demanda aumente em
, compare a nova taxa de ocupação com a anterior e verifique o que acontece como risco superlotação.
a) Calcule o número médio de clientes na agência bancária.
b) Qual a probabilidade de o posto bancário estar vazio?
c) Qual o tempo que um cliente aguarda, em média, na fila?
d) Qual a probabilidade de o cliente precisar aguardar mais de 10 minutos na fila para ser atendido?
e) Qual o risco de ocorrer superlotação no posto?
f) Caso a demanda aumente em
Passo 1
O que o enunciado nos dá (valores e perguntas):
- Chegadas segundo um processo de Poisson com taxa
clientes/minuto. - Um único caixa atende em ordem de chegada; os tempos de atendimento são exponenciais com média igual a
minutos. - A agência “acomoda confortavelmente até cinco pessoas”, mas não há desistência: fila e sistema têm capacidade ilimitada (ninguém é impedido de entrar).
As perguntas:
(a) Calcular o número médio de clientes na agência bancária.
(b) Calcular a probabilidade de o posto bancário estar vazio.
(c) Calcular o tempo médio que um cliente aguarda na fila.
(d) Calcular a probabilidade de o cliente precisar aguardar mais deminutos na fila.
(e) Calcular o risco de ocorrer superlotação (mais do quepessoas na agência).
(f) Se a demanda aumentar, comparar a nova taxa de ocupação com a anterior e verificar o que acontece com o risco de superlotação.
Passo 2
Modelagem e parâmetros numéricos básicos (pegando dados do enunciado):
- Tempo de serviço médio é
minutos, logo a taxa de serviço é
- Já temos
. - Defino a razão de utilização (taxa de ocupação)
Vou calcular
e usar fórmulas clássicas para um sistema com chegadas Poisson, serviço exponencial, um servidor e fila ilimitada (modelo usual M/M/1). Essas fórmulas são as que se aplicam quando chegadas e serviços têm exatamente essas propriedades (o enunciado deu isso).
Passo 3
Calcular a taxa de ocupação
e comentar estabilidade:
Comentário rápido sobre estabilidade: para existir regime estacionário (distribuições e médias constantes no tempo) precisa-se de
. Aqui
, portanto o sistema é estável e as fórmulas abaixo valem.
Passo 4
Distribuição estacionária do número de clientes no sistema e probabilidade de estar vazio:
- Para M/M/1, a probabilidade de haver exatamente
clientes no sistema em regime estacionário é
- Então a probabilidade de o sistema estar vazio (ou seja
) é
Substituindo
,
Passo 5
Número médio de clientes no sistema (média total, fila + atendimento):
- A média
para M/M/1 é (pode-se obter somando a série geométrica)
Explicação rápida da fórmula (intuição e soma): se
, então
usando a soma da série geométrica e sua derivada. Substituindo
,
Portanto, em média há
clientes na agência (na fila + em atendimento).
Passo 6
Média de clientes na fila e tempo médio de espera na fila (usando Little):
- A média de clientes somente na fila (excluindo o que está sendo atendido) é
Substituindo
,
- A Lei de Little diz que para a fila (ou para o sistema) vale
, onde é o tempo médio no sistema e, análogo, , onde é o tempo médio de espera na fila. Assim
Substituindo os valores,
(Interpretação: o tempo médio aguardando na fila é
minutos. O tempo médio total no sistema
minutos, que também é igual a
.)
Passo 7
Probabilidade de aguardar mais de
minutos na fila:
- Para M/M/1 a distribuição do tempo de espera na fila
tem a propriedade:
com probabilidadeo cliente não espera (chega e encontra servidor livre, espera zero); com probabilidade o cliente encontra o servidor ocupado e o tempo de espera condicionado a isso é exponencial com parâmetro . Dessa forma a cauda é
Explicando: a memória de exponencial + comportamento de chegada faz com que, condicionalmente a esperar, a soma das cargas à frente resulte numa exposição com taxa
.
- Aqui
por minuto. Para minutos,
Passo 8
Risco de superlotação (probabilidade de haver mais de
pessoas na agência):
- Superlotação definida como
. Usando a distribuição geométrica,
Mas
. Então
Substituindo
,
Passo 9
Aumento da demanda em
(parte f): recalcular métricas e comparar
- Nova taxa de chegada
- Nova razão de ocupação
Comparação: a ocupação sobe de
para
(aumentou bastante e está muito próxima de
).
- Novo risco de superlotação
- Outros números de interesse (para perceber o efeito prático):
e a probabilidade de esperar mais de
minutos na fila passa a
Interpretação: com aumento de
na demanda a ocupação sobe muito (de
para
), o número médio no sistema salta de
para
, o tempo médio de espera na fila cresce de
para
minutos, e o risco de superlotação passa de aproximadamente
para mais de
. Ou seja, mesmo permanecendo estável (
), o desempenho degrada fortemente e a probabilidade de ultrapassar a capacidade “confortável” de
pessoas aumenta muito.
Resposta
(a)
clientes (média no sistema).
(b) .
(c) minutos (tempo médio de espera na fila).
(d) .
(e) (aprox.
).
(f) Nova taxa de ocupação (antes
); risco de superlotação passa de
para
(aumenta fortemente).\n
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Nova taxa de ocupação