Em um Sistema de fila Marcoviano com um único servidor, mediu-se o número médio de clientes no sistema, encontrando-se o valor 3. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é
, pede-se calcular a probabilidade do número de clientes ser inferior a 6.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Número médio de clientes no sistema:
. - Tempo médio gasto no sistema por cliente:
. - Trata-se de um sistema de fila markoviano com um único servidor (modelo padrão
).
- Número médio de clientes no sistema:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de o número de clientes no sistema ser inferior a 6, ou seja, calcular
.
- Calcular a probabilidade de o número de clientes no sistema ser inferior a 6, ou seja, calcular
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar a taxa de chegada média
usando a Lei de Little. A Lei de Little diz que, em regime estacionário,
onde:
-
é o número médio de clientes no sistema, -
é a taxa média de chegadas (clientes por unidade de tempo), -
é o tempo médio no sistema por cliente.
Aplicando os valores dados:
Passo 3
Para o modelo
em regime estacionário usamos as fórmulas conhecidas:
- Definindo
como a taxa de atendimento (serviços por hora) e como a intensidade de tráfego,
- A média de clientes no sistema pode ser escrita como
- Outra forma útil (obtida de
e das fórmulas do ) é
Aqui:
-
é a taxa de chegada que já encontramos, -
é a taxa de serviço que queremos determinar, -
é a razão .
Vou usar a última expressão porque temos
.
Passo 4
Usando
e isolando
:
Substituindo
e
:
Agora calculo a intensidade de tráfego:
Passo 5
No
em regime estacionário, a distribuição do número de clientes
é geométrica:
A probabilidade pedida é
Essa soma é uma soma geométrica; ela se simplifica para
Passo 6
Substituo
e calculo numericamente:
Portanto