Em um Sistema de fila Marcoviano com um único servidor, mediu-se o número médio de clientes no sistema, encontrando-se o valor 3. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é 1,0 \mathrm{~h}, pede-se calcular a probabilidade do número de clientes ser inferior a 6.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número médio de clientes no sistema: L=3.
    • Tempo médio gasto no sistema por cliente: W=1,0\\ \mathrm{h}.
    • Trata-se de um sistema de fila markoviano com um único servidor (modelo padrão M/M/1).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a probabilidade de o número de clientes no sistema ser inferior a 6, ou seja, calcular P\{N<6\}.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar a taxa de chegada média \lambda usando a Lei de Little. A Lei de Little diz que, em regime estacionário,
L=\lambda W,
onde:
  • L é o número médio de clientes no sistema,
  • \lambda é a taxa média de chegadas (clientes por unidade de tempo),
  • W é o tempo médio no sistema por cliente.
Aplicando os valores dados:
\lambda=\dfrac{L}{W}=\dfrac{3}{1,0\\ \mathrm{h}}=3\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Para o modelo M/M/1 em regime estacionário usamos as fórmulas conhecidas:
  • Definindo \mu como a taxa de atendimento (serviços por hora) e \rho como a intensidade de tráfego,
\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}.
  • A média de clientes no sistema pode ser escrita como
L=\dfrac{\rho}{1-\rho}.
  • Outra forma útil (obtida de L=\lambda W e das fórmulas do M/M/1) é
W=\dfrac{1}{\mu-\lambda}.
Aqui:
  • \lambda é a taxa de chegada que já encontramos,
  • \mu é a taxa de serviço que queremos determinar,
  • \rho é a razão \lambda/\mu.
Vou usar a última expressão porque temos W.

Passo 4

Usando \displaystyle W=\dfrac{1}{\mu-\lambda} e isolando \mu:
\mu=\lambda+\dfrac{1}{W}.
Substituindo \lambda=3\\ \mathrm{h}^{-1} e W=1,0\\ \mathrm{h}:
\mu=3+\dfrac{1}{1,0}=3+1=4\\ \mathrm{h}^{-1}.
Agora calculo a intensidade de tráfego:
\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}=\dfrac{3}{4}=0,75.

Passo 5

No M/M/1 em regime estacionário, a distribuição do número de clientes N é geométrica:
P\{N=n\}=(1-\rho)\,\rho^{n},\qquad n=0,1,2,\dots
A probabilidade pedida é
P\{N<6\}=\sum_{n=0}^{5}P\{N=n\}=\sum_{n=0}^{5}(1-\rho)\rho^{n}.
Essa soma é uma soma geométrica; ela se simplifica para
\sum_{n=0}^{5}(1-\rho)\rho^{n}=1-\rho^{6}.

Passo 6

Substituo \rho=0,75 e calculo numericamente:
\rho^{2}=0,75^{2}=0,5625, \quad \rho^{3}=0,421875, \quad \rho^{4}=0,31640625,
\rho^{5}=0,2373046875, \quad \rho^{6}=0,177978515625.
Portanto
P\{N<6\}=1-\rho^{6}=1-0,177978515625=0,822021484375\approx0,8220.

Resposta

P\{N<6\}=1-\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6}\approx0,8220

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