Células de E. coli em forma de bastão têm cerca de 2 mm de comprimento e 0,8 \mathrm{~mm} de diâmetro. Como dado, o volume de um cilindro é \pi r^{2} h, onde h é a altura do cilindro. Pergunta-se:
E. coli tem um envelope de proteção celular de 10 nm de espessura. Qual porcentagem do volume total da bactéria é ocupada pelo envelope?

Passo 1

O enunciado descreve uma bactéria em forma de bastão, que podemos modelar como um cilindro de comprimento h e raio R. Nos foi dado o comprimento e diâmetro da célula e a espessura \delta do envelope. Precisamos calcular a fração do volume total ocupada por esse envelope, ou seja,
\text{fração} = \frac{V_{\text{externo}} - V_{\text{interno}}}{V_{\text{externo}}}\times100\%.çã

Passo 2

Definimos as dimensões (em micrômetros para consistência):
h = 2\\ \mu\text{m},\quad \text{diâmetro} = 0,8\\ \mu\text{m}\;\Rightarrow\;R = 0,4\\ \mu\text{m},â
e a espessura do envelope é \delta = 10\\ \text{nm} = 0,01\\ \mu\text{m}.

Passo 3

O volume do cilindro externo (célula inteira) é
V_{\text{externo}} = \pi R^2\,h.
O volume do cilindro interno (conteúdo sem o envelope) tem raio r = R - \delta, logo
V_{\text{interno}} = \pi (R - \delta)^2\,h.

Passo 4

A fração do volume ocupado pelo envelope é
\frac{V_{\text{externo}} - V_{\text{interno}}}{V_{\text{externo}}} = 1 - \frac{(R - \delta)^2}{R^2} = 1 - \Bigl(1 - \frac{\delta}{R}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Substituindo \delta/R = 0,01/0,4 = 0{,}025, temos
\text{fração} = 1 - (1 - 0{,}025)^{2} = 1 - (0{,}975)^{2} = 1 - 0{,}950625 = 0{,}049375.çã

Passo 6

Convertendo em percentual,
0{,}049375 \times 100\% = 4{,}9375\%\approx 4{,}94\%.

Resposta

Aproximadamente 4{,}94\% do volume total da bactéria é ocupado pelo envelope celular.

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