Cenário: A integral \int_{0}^{1} e^{-x^{2} / 2} d x está relacionada à área sob a curva de uma distribuição de probabilidade.
Questão: Calcule o valor da integral \int_{0}^{1} e^{-x^{2} / 2} d x utilizando a Regra \mathbf{1} / \mathbf{3} de Simpson com n=4 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}/2}\,dx usando a Regra \mathbf{1/3} de Simpson com n=4 subintervalos.
Informações dadas e necessárias:
\;a=0, \;b=1, \;n=4 (logo n é par, o que permite usar Simpson).

Passo 2

Apresentando a Regra \mathbf{1/3} de Simpson e explicando como usá‑la.
A fórmula de Simpson para n subintervalos (com n par) é:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{k\\ \text{ímpar}} f(x_{k})+2\sum_{k\\ \text{par},\\\ 0<k<n} f(x_{k})\right]í
onde \;h=\dfrac{b-a}{n} e \;x_{k}=a+k h.
O que cada símbolo significa:
\;f(x) é a função que estamos integrando; \;x_{0}=a é o ponto inicial e \;x_{n}=b é o ponto final.
Os coeficientes 4 e 2 vêm da combinação de duas regras de Simpson em pares de subintervalos — na prática: os nós internos alternam pesos 4,2,4,2,… terminando em 4 para o penúltimo nó quando n é par.

Passo 3

Calcular \;h e os nós \;x_{k}.
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Os nós são:
\begin{aligned} x_{0}&=0,\\\ x_{1}&=0,25,\\\ x_{2}&=0,50,\\\ x_{3}&=0,75,\\\ x_{4}&=1. \end{aligned}

Passo 4

Avaliar a função \;f(x)=e^{-x^{2}/2} em cada nó. Vou mostrar como calcular o expoente e depois o valor exponencial aproximado (arredondando para várias casas decimais, sempre mantendo precisão suficiente para a prova).
Para x_{0}=0:
x_{0}^{2}/2=0,\qquad f(x_{0})=e^{0}=1.
Para x_{1}=0,25:
x_{1}^{2}/2=\frac{(0,25)^{2}}{2}=\frac{0,0625}{2}=0,03125,
f(x_{1})=e^{-0,03125}\approx 0,969233234476996.
Para x_{2}=0,50:
x_{2}^{2}/2=\frac{(0,50)^{2}}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125,
f(x_{2})=e^{-0,125}\approx 0,8824969025845955.
Para x_{3}=0,75:
x_{3}^{2}/2=\frac{(0,75)^{2}}{2}=\frac{0,5625}{2}=0,28125,
f(x_{3})=e^{-0,28125}\approx 0,7548396015330678.
Para x_{4}=1:
x_{4}^{2}/2=\frac{1^{2}}{2}=0,5,
f(x_{4})=e^{-0,5}\approx 0,6065306597126334.
(Se na prova você não puder usar calculadora, basta apresentar os expoentes e aproximar e^{-\text{valor}} com as casas permitidas; mas como Simpson envolve somas ponderadas, normalmente é aceitável usar calculadora para obter os f(x_{k}).)

Passo 5

Aplicar a fórmula de Simpson com os valores obtidos. Primeiro monte as somas ponderadas:
Termo f(x_{0})+f(x_{4}):
f(x_{0})+f(x_{4})=1+0,6065306597126334=1,6065306597126334.
Termo 4\sum_{\text{ímpar}} f(x_{k})=4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big)í:
f(x_{1})+f(x_{3})=0,969233234476996+0,7548396015330678=1,7240728360100638,
4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big)=6,896291344040255.
Termo 2\sum_{\substack{\text{par}\\\ 0<k<n}} f(x_{k})=2 f(x_{2}):
2f(x_{2})=2\cdot 0,8824969025845955=1,764993805169191.
Somando tudo:
S=f(x_{0})+f(x_{4})+4(f(x_{1})+f(x_{3}))+2f(x_{2})
S=1,6065306597126334+6,896291344040255+1,764993805169191=10,267815808922079.

Passo 6

Multiplicar por \dfrac{h}{3}. Como h=0,25, temos \dfrac{h}{3}=\dfrac{0,25}{3}=\dfrac{1}{12}\approx 0,0833333333333333. Então
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}/2}\,dx \approx \frac{1}{12}\cdot 10,267815808922079 \approx 0,8556513174101733.
Arredondando de forma usual para um número prático (por exemplo 6 casas decimais) obteríamos \approx 0,855651.
Dica final: se quiser comparar com o valor “exato” expresso com a função erro, note que
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\mathrm{erf}\!\bigg(\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg)\approx 0,8556243919,
logo o valor de Simpson com n=4 ficou muito próximo (erro na ordem de 10^{-5}), mostrando boa precisão.

Resposta

0,8556513174101733

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