1.6 Solução de EDO: Método de Euler Aperfeiçoado (Super)

Cenário: O decaimento de uma substância radioativa é modelado pela EDO \frac{d y}{d x}=f(x, y)= -0.5 y+0.1 x.
Questão: Dada a condição inicial y(0)=4 \mathrm{~g}, utilize o Método de Euler com passo h=0.2 para estimar a quantidade de substância no tempo x=0.4 (duas iterações).

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a quantidade de substância no tempo x=0,4 usando o Método de Euler com passo h=0,2, a partir da EDO e condição inicial dadas. Dados do problema:
\frac{dy}{dx}=f(x,y)=-0,5\,y+0,1\,x,
y(0)=4\\ \text{g},
passo h=0,2, e queremos y(0,4). Como 0,4-0=0,4 e h=0,2, serão necessárias 2 iterações (dois passos): x_0=0\to x_1=0,2\to x_2=0,4.

Passo 2

O que é o Método de Euler (explicação intuitiva)? A EDO nos diz a inclinação instantânea da curva solução em qualquer ponto (x,y): essa inclinação é f(x,y)=\frac{dy}{dx}. O Método de Euler usa essa inclinação no ponto atual para avançar uma pequena distância h em x e aproximar o novo valor de y por uma reta tangente. Em palavras: “valor novo = valor atual + passo \times inclinação atual”.

Passo 3

Fórmula do Método de Euler e significado das letras (aqui ensinado passo-a-passo):
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
Explicando cada símbolo:
  • y_n é a aproximação de y no ponto x_n.
  • x_n é o ponto atual em x.
  • h é o tamanho do passo em x (quanto avançamos em x a cada iteração).
  • f(x_n,y_n) é a inclinação \frac{dy}{dx} avaliada em (x_n,y_n).
  • y_{n+1} é a aproximação no próximo ponto x_{n+1}=x_n+h.
Vamos aplicar isso com x_0=0, y_0=4, h=0,2.

Passo 4

Cálculo da inclinação inicial f(x_0,y_0). Avaliamos f em (x_0,y_0)=(0,4):
f(0,4)=-0,5\cdot 4 + 0,1\cdot 0.
Fazendo contas passo a passo:
-0,5\cdot 4 = -2,
0,1\cdot 0 = 0,
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f(0,4) = -2 + 0 = -2.

Passo 5

Primeira iteração: calcular y_1 usando a fórmula de Euler.
y_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0).
Substituindo y_0=4, h=0,2, f(0,4)=-2:
y_1 = 4 + 0,2\cdot(-2).
Calculemos:
0,2\cdot(-2) = -0,4,
y_1 = 4 - 0,4 = 3,6.
Portanto a aproximação no ponto x_1=0,2 é y_1=3,6 (gramas).

Passo 6

Cálculo da inclinação no ponto (x_1,y_1)=(0,2,\,3,6). Primeiro escrevo corretamente o par: x_1=0,2 e y_1=3,6. Agora avalio f:
f(0,2,\,3,6) = -0,5\cdot 3,6 + 0,1\cdot 0,2.
Fazendo contas:
-0,5\cdot 3,6 = -1,8,
0,1\cdot 0,2 = 0,02,
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f(0,2,\,3,6) = -1,8 + 0,02 = -1,78.

Passo 7

Segunda iteração: calcular y_2 que é a aproximação em x_2=0,4.
y_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1).
Substituindo y_1=3,6, h=0,2, f(0,2,\,3,6)=-1,78:
y_2 = 3,6 + 0,2\cdot(-1,78).
Calculemos o produto:
0,2\cdot 1,78 = 0,356,
portanto
0,2\cdot(-1,78) = -0,356,
e
y_2 = 3,6 - 0,356 = 3,244.
Assim a aproximação pelo Método de Euler, com h=0,2 após duas iterações, é y(0,4)\approx 3,244 gramas.

Passo 8

Comentário didático final e dica para a prova: o Método de Euler é simples e exige só calcular f no ponto atual e multiplicar por h. Ele é de ordem um (erro global proporcional a h), então reduzir h ou usar métodos aperfeiçoados (por exemplo método de Euler melhorado / Runge–Kutta) dá aproximações melhores. Na prova, escreva claramente cada f(x_n,y_n), calcule com cuidado as multiplicações e mantenha as casas decimais consistentes — isso evita erros bobos. Força aí, você está indo bem!

Resposta

y(0,4)\approx 3,244\\ \text{g}

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