1.6 Solução de EDO: Método de Euler Aperfeiçoado (Super)
Cenário: O decaimento de uma substância radioativa é modelado pela EDO
.
Questão: Dada a condição inicial
, utilize o Método de Euler com passo
para estimar a quantidade de substância no tempo
(duas iterações).
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a quantidade de substância no tempo
usando o Método de Euler com passo
, a partir da EDO e condição inicial dadas. Dados do problema:
passo
, e queremos
. Como
e
, serão necessárias
iterações (dois passos):
.
Passo 2
O que é o Método de Euler (explicação intuitiva)? A EDO nos diz a inclinação instantânea da curva solução em qualquer ponto
: essa inclinação é
. O Método de Euler usa essa inclinação no ponto atual para avançar uma pequena distância
em
e aproximar o novo valor de
por uma reta tangente. Em palavras: “valor novo = valor atual + passo
inclinação atual”.
Passo 3
Fórmula do Método de Euler e significado das letras (aqui ensinado passo-a-passo):
Explicando cada símbolo:
-
é a aproximação de no ponto . -
é o ponto atual em . -
é o tamanho do passo em (quanto avançamos em a cada iteração). -
é a inclinação avaliada em . -
é a aproximação no próximo ponto .
Vamos aplicar isso com
,
,
.
Passo 4
Cálculo da inclinação inicial
. Avaliamos
em
:
Fazendo contas passo a passo:
logo
Passo 5
Primeira iteração: calcular
usando a fórmula de Euler.
Substituindo
,
,
:
Calculemos:
Portanto a aproximação no ponto
é
(gramas).
Passo 6
Cálculo da inclinação no ponto
. Primeiro escrevo corretamente o par:
e
. Agora avalio
:
Fazendo contas:
logo
Passo 7
Segunda iteração: calcular
que é a aproximação em
.
Substituindo
,
,
:
Calculemos o produto:
portanto
e
Assim a aproximação pelo Método de Euler, com
após duas iterações, é
gramas.
Passo 8
Comentário didático final e dica para a prova: o Método de Euler é simples e exige só calcular
no ponto atual e multiplicar por
. Ele é de ordem um (erro global proporcional a
), então reduzir
ou usar métodos aperfeiçoados (por exemplo método de Euler melhorado / Runge–Kutta) dá aproximações melhores. Na prova, escreva claramente cada
, calcule com cuidado as multiplicações e mantenha as casas decimais consistentes — isso evita erros bobos. Força aí, você está indo bem!