(Çengel, 2015) Considere um tanque de um sistema de tratamento de efluentes de 8 m de comprimento, 8 m de largura e 2 m de altura acima do solo, cheio de efluente até a borda.
a) Esquematize o perfil de pressão hidrostática e forças atuando sobre as paredes do tanque.
b) Determine a força hidrostática em cada parede.
c) Detrmine a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se as alturas das paredes do tanque dobrarem e ele estiver cheio, a força hidrostática duplica? Por quê? Demonstre matematicamente seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado dá um tanque retoangular com as seguintes informações (vou listar tudo, bem clarinho):
  • comprimento (no sentido de uma parede) =8\\ \mathrm{m}.
  • largura (no sentido da parede adjacente) =8\\ \mathrm{m}.
  • altura das paredes acima do solo =2\\ \mathrm{m}.
  • o tanque está cheio até a borda (ou seja, a superfície livre do líquido coincide com a borda superior, a 2\\ \mathrm{m} do solo).
  • o líquido é efluente; vou assumir densidade igual à da água limpa para cálculo prático: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (se seu professor quiser outra densidade, substitua \rho no final) e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede (cada item que vamos resolver):
a) Esquematizar o perfil de pressão hidrostática e as forças atuando nas paredes.
b) Determinar a força hidrostática em cada parede.
c) Determinar a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se a altura das paredes dobrar e o tanque estiver cheio, a força hidrostática duplica? Justifique matematicamente.

Passo 2

Conceitos básicos (passo-a-passo didático para entender tudo):
  • Pressão hidrostática em profundidade y abaixo da superfície é dada por \displaystyle p(y)=\rho g y. Aqui \rho é a densidade do líquido, g a gravidade e y a profundidade (medida a partir da superfície livre, para baixo). Essa equação mostra que a pressão cresce linearmente com a profundidade — é uma rampa que começa em zero na superfície e atinge \rho g H no fundo (se a profundidade total é H).
  • Força sobre uma parede plana vertical é a integral da pressão sobre a área: dF=p(y)\,dA. Para uma parede vertical retangular, se L é a largura horizontal da parede e H a sua altura submersa, então um elemento horizontal de área é dA=L\,dy e dF=\rho g y L\,dy. Integrando de y=0 até y=H obtemos a força resultante.
  • O perfil de pressão na parede é triangular (zero no topo, máximo embaixo). As forças elementares são horizontais; o resultado é uma força resultante horizontal aplicada numa linha de ação localizada abaixo do centro geométrico (o centro de pressão fica mais perto do fundo que o centro geométrico).
Descrição esquemática pedida em (a) (vou descrever como desenhar):
  • Desenhe a parede vertical (altura H=2\\ \mathrm{m}).
  • Sobre a parede, desenhe setas horizontais (pequenas) ao longo da altura; o comprimento das setas cresce linearmente de cima para baixo (formando uma distribuição triangular). Isso representa p(y)=\rho g y.
  • A resultante destas forças é uma única força horizontal aplicada em um ponto localizado a y_{cp}=\tfrac{2}{3}H abaixo da superfície livre (vou demonstrar isso nos próximos passos) — ou seja, a linha de ação fica a H-\tfrac{2}{3}H=\tfrac{H}{3} acima do solo.

Passo 3

Cálculo detalhado da força hidrostática em UMA parede (integração passo a passo):
  • Escolha coordenada: y mede a profundidade a partir da superfície livre (topo) para baixo, variando 0\le y\le H. Aqui H=2\\ \mathrm{m}.
  • Área elementar horizontal: dA=L\,dy, onde L é a largura horizontal da parede (no nosso tanque quadrado L=8\\ \mathrm{m}).
  • Força elemental: dF=p(y)\,dA=(\rho g y)(L\,dy).
  • Força total sobre a parede:
F=\int_{0}^{H}\rho g y L\,dy=\rho g L\int_{0}^{H} y\,dy=\rho g L\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{H}=\rho g L\frac{H^{2}}{2}.
  • Alternativa de visão física: a área da parede é A=LH e a profundidade do centróide é \bar y = H/2. Como p é linear, a força pode ser escrita como F=\rho g A \bar y = \rho g (L H)\frac{H}{2}=\rho g L\frac{H^{2}}{2}, que é a mesma expressão acima.

Passo 4

Substituição numérica para o nosso tanque (cada parede tem L=8\\ \mathrm{m} e H=2\\ \mathrm{m}):
  • Primeiro calcule a pressão no fundo: p_{\text{fundo}}=\rho g H = 1000\cdot 9{,}81\cdot 2 = 19\,620\\ \mathrm{Pa} (ou N/m ^2). Isso confirma a rampa de pressão.
  • Agora a força sobre uma parede:
F=\rho g L\frac{H^{2}}{2}=1000\cdot 9{,}81\cdot 8\cdot\frac{2^{2}}{2}.
Calcule passo a passo: 2^{2}=4, \frac{4}{2}=2, então L\cdot\frac{H^{2}}{2}=8\cdot 2=16. Logo
F=1000\cdot 9{,}81\cdot 16 = 1000\cdot 156{,}96 = 156{,}960\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades práticas: F=156{,}960\\ \mathrm{N}\approx 156{,}96\\ \mathrm{kN}. Todas as quatro paredes (por serem 8\times2\\ \mathrm{m}) recebem a mesma força horizontal de 156{,}960\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a linha de ação (centro de pressão) — derivação clara por integração:
  • O centro de pressão (profundidade média ponderada pela pressão) medido a partir da superfície é
y_{cp}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{H} y\;p(y)\,dA}{\displaystyle\int_{0}^{H} p(y)\,dA}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{H} y\;(\rho g y) L\,dy}{\displaystyle\int_{0}^{H} (\rho g y) L\,dy}.
  • Os fatores \rho g L cancelam, então
y_{cp}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{H} y^{2}\,dy}{\displaystyle\int_{0}^{H} y\,dy}=\frac{\left[\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{H}}{\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{H}}=\frac{H^{3}/3}{H^{2}/2}=\frac{2}{3}H.
  • Para H=2\\ \mathrm{m} isto é y_{cp}=\dfrac{2}{3}\cdot 2=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre. Como a superfície está a 2\\ \mathrm{m} do solo, a distância da linha de ação ao solo (medida a partir do solo para cima) é
\text{distância ao solo}=H-y_{cp}=H-\frac{2}{3}H=\frac{H}{3}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}6667\\ \mathrm{m}.â
  • Interpretação física: o centro de pressão fica mais perto do fundo que o centro geométrico (centro geométrico está em H/2=1\\ \mathrm{m} do topo), aqui y_{cp}=1{,}333\\ \mathrm{m} do topo (ou 0{,}667\\ \mathrm{m} acima do solo).

Passo 6

Resposta ao item (d): e demonstração matemática clara e a intuição.
  • Fórmula geral (já obtida): F=\rho g L\frac{H^{2}}{2}. Note que F depende de H^{2} (proporcional ao quadrado da altura submersa).
  • Se dobrarmos a altura: H' = 2H. Então a nova força é
F'=\rho g L\frac{(2H)^{2}}{2}=\rho g L\frac{4H^{2}}{2}=4\left(\rho g L\frac{H^{2}}{2}\right)=4F.
  • Conclusão: NÃO, a força não duplica — ela quadruplica (multiplica por 4). Intuição: dobrar H faz a pressão máxima no fundo dobrar e também a área da parede (altura) dobrar; multiplicando esses dois efeitos (≈ 2\times 2) obtemos um fator 4.

Resposta

(a) Perfil triangular de pressão p(y)=\rho g y (zero no topo, máximo no fundo). Forças elementares horizontais ao longo da parede formando distribuição triangular; resultante horizontal única atuando a y_{cp}=\tfrac{2}{3}H abaixo da superfície (isto é, a \tfrac{H}{3} do solo).
(b) F=\rho g L\frac{H^{2}}{2}=156{,}960\\ \mathrm{N}\\ \left(\approx156{,}96\\ \mathrm{kN}\right) por parede (com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\ g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ L=8\\ \mathrm{m},\\ H=2\\ \mathrm{m}).
(c) Distância da linha de ação ao solo: \dfrac{H}{3}=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{m} (aprox. 0{,}6667\\ \mathrm{m} acima do solo).
(d) Não — se H dobrar, F quadruplica. Matematicamente, F\propto H^{2}, logo para H'\!=\!2H temos F' = 4F.

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