(Çengel, 2015) Considere um tanque de um sistema de tratamento de efluentes de 8 m de comprimento, 8 m de largura e 2 m de altura acima do solo, cheio de efluente até a borda.
a) Esquematize o perfil de pressão hidrostática e forças atuando sobre as paredes do tanque.
b) Determine a força hidrostática em cada parede.
c) Detrmine a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se as alturas das paredes do tanque dobrarem e ele estiver cheio, a força hidrostática duplica? Por quê? Demonstre matematicamente seu raciocínio.
a) Esquematize o perfil de pressão hidrostática e forças atuando sobre as paredes do tanque.
b) Determine a força hidrostática em cada parede.
c) Detrmine a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se as alturas das paredes do tanque dobrarem e ele estiver cheio, a força hidrostática duplica? Por quê? Demonstre matematicamente seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado dá um tanque retoangular com as seguintes informações (vou listar tudo, bem clarinho):
- comprimento (no sentido de uma parede)
. - largura (no sentido da parede adjacente)
. - altura das paredes acima do solo
. - o tanque está cheio até a borda (ou seja, a superfície livre do líquido coincide com a borda superior, a
do solo). - o líquido é efluente; vou assumir densidade igual à da água limpa para cálculo prático:
(se seu professor quiser outra densidade, substitua no final) e aceleração da gravidade .
O que o enunciado pede (cada item que vamos resolver):
a) Esquematizar o perfil de pressão hidrostática e as forças atuando nas paredes.
b) Determinar a força hidrostática em cada parede.
c) Determinar a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se a altura das paredes dobrar e o tanque estiver cheio, a força hidrostática duplica? Justifique matematicamente.
a) Esquematizar o perfil de pressão hidrostática e as forças atuando nas paredes.
b) Determinar a força hidrostática em cada parede.
c) Determinar a distância da linha de ação da força hidrostática ao solo.
d) Se a altura das paredes dobrar e o tanque estiver cheio, a força hidrostática duplica? Justifique matematicamente.
Passo 2
Conceitos básicos (passo-a-passo didático para entender tudo):
- Pressão hidrostática em profundidade
abaixo da superfície é dada por . Aqui é a densidade do líquido, a gravidade e a profundidade (medida a partir da superfície livre, para baixo). Essa equação mostra que a pressão cresce linearmente com a profundidade — é uma rampa que começa em zero na superfície e atinge no fundo (se a profundidade total é ). - Força sobre uma parede plana vertical é a integral da pressão sobre a área:
. Para uma parede vertical retangular, se é a largura horizontal da parede e a sua altura submersa, então um elemento horizontal de área é e . Integrando de até obtemos a força resultante. - O perfil de pressão na parede é triangular (zero no topo, máximo embaixo). As forças elementares são horizontais; o resultado é uma força resultante horizontal aplicada numa linha de ação localizada abaixo do centro geométrico (o centro de pressão fica mais perto do fundo que o centro geométrico).
Descrição esquemática pedida em (a) (vou descrever como desenhar):
- Desenhe a parede vertical (altura
). - Sobre a parede, desenhe setas horizontais (pequenas) ao longo da altura; o comprimento das setas cresce linearmente de cima para baixo (formando uma distribuição triangular). Isso representa
. - A resultante destas forças é uma única força horizontal aplicada em um ponto localizado a
abaixo da superfície livre (vou demonstrar isso nos próximos passos) — ou seja, a linha de ação fica a acima do solo.
Passo 3
Cálculo detalhado da força hidrostática em UMA parede (integração passo a passo):
- Escolha coordenada:
mede a profundidade a partir da superfície livre (topo) para baixo, variando . Aqui . - Área elementar horizontal:
, onde é a largura horizontal da parede (no nosso tanque quadrado ). - Força elemental:
. - Força total sobre a parede:
- Alternativa de visão física: a área da parede é
e a profundidade do centróide é . Como é linear, a força pode ser escrita como , que é a mesma expressão acima.
Passo 4
Substituição numérica para o nosso tanque (cada parede tem
e
):
- Primeiro calcule a pressão no fundo:
(ou N/m ). Isso confirma a rampa de pressão. - Agora a força sobre uma parede:
Calcule passo a passo:
,
, então
. Logo
- Em unidades práticas:
Todas as quatro paredes (por serem ) recebem a mesma força horizontal de .
Passo 5
Determinar a linha de ação (centro de pressão) — derivação clara por integração:
- O centro de pressão (profundidade média ponderada pela pressão) medido a partir da superfície é
- Os fatores
cancelam, então
- Para
isto é abaixo da superfície livre. Como a superfície está a do solo, a distância da linha de ação ao solo (medida a partir do solo para cima) é
- Interpretação física: o centro de pressão fica mais perto do fundo que o centro geométrico (centro geométrico está em
do topo), aqui do topo (ou acima do solo).
Passo 6
Resposta ao item (d): e demonstração matemática clara e a intuição.
- Fórmula geral (já obtida):
. Note que depende de (proporcional ao quadrado da altura submersa). - Se dobrarmos a altura:
. Então a nova força é
- Conclusão: NÃO, a força não duplica — ela quadruplica (multiplica por 4). Intuição: dobrar
faz a pressão máxima no fundo dobrar e também a área da parede (altura) dobrar; multiplicando esses dois efeitos (≈ ) obtemos um fator .
Resposta
(a) Perfil triangular de pressão
(zero no topo, máximo no fundo). Forças elementares horizontais ao longo da parede formando distribuição triangular; resultante horizontal única atuando a
abaixo da superfície (isto é, a
do solo).
(b) por parede (com
).
(c) Distância da linha de ação ao solo: (aprox.
acima do solo).
(d) Não — se dobrar,
quadruplica. Matematicamente,
, logo para
temos
.
(b)
(c) Distância da linha de ação ao solo:
(d) Não — se