Considere a função f(x)=x+1raizx^2+1 definida em R. Determine (se houver):
os pontos críticos e os pontos de inflexão;

Passo 1

Estamos estudando a função
f(x)=x+1raizx^2+1,
definida em R. O objetivo é achar os pontos críticos (onde a derivada primeira f' é zero ou indefinida) e os pontos de inflexão (onde a derivada segunda f'' zera e há mudança de concavidade). Para isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e, depois, a regra do produto e cadeia para derivar duas vezes.

Passo 2

Para achar f'(x), use a regra do quociente com numerador N(x)=x+1 e denominador D(x)=raizx^2+1:
f'(x)=N',D - N,D'D^2
Calculando, obtemos
f'(x)=raizx^2+1 - (x+1)xraizx^2+1(x^2+1)=1-x(x^2+1)^3/2
Como f' só zera quando o numerador 1-x=0, temos ponto crítico em x=1. O denominador nunca anula em R, então não há outros pontos críticos.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=(1-x)(x^2+1)^-3/2 para obter f''(x). Seja u=1-x e v=(x^2+1)^-3/2. Então
f''(x)=u'v + uv'=(-1)(x^2+1)^-3/2 + (1-x)l(-tfrac3x(x^2+1)^5/2r)
Colocando sobre o mesmo denominador, resulta
f''(x)=2x^2 -3x -1(x^2+1)^5/2

Passo 4

Para localizar inflexões igualamos o numerador a zero:
2x^2 -3x -1=0 Longrightarrow x=3pmraiz9+84=3pmraiz174
Nessas abscissas a concavidade muda, confirmando pontos de inflexão em x=tfrac3+raiz174 e x=tfrac3-raiz174.

Passo 5

Para classificar o ponto crítico em x=1, observe o sinal de f': se x<1, então 1-x>0 e f'>0 (função cresce); se x>1, então 1-x<0 e f'<0 (função decresce). Logo há um máximo local em x=1, com valor
f(1)=1+1raiz1^2+1=2raiz2=raiz2

Resposta

Ponto crítico em x=1 (máximo local) e pontos de inflexão em x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} e x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}.

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