Considere a função
definida em
. Determine (se houver):
os pontos críticos e os pontos de inflexão;
os pontos críticos e os pontos de inflexão;
Passo 1
Estamos estudando a função
definida em
. O objetivo é achar os pontos críticos (onde a derivada primeira
é zero ou indefinida) e os pontos de inflexão (onde a derivada segunda
zera e há mudança de concavidade). Para isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e, depois, a regra do produto e cadeia para derivar duas vezes.
Passo 2
Para achar
, use a regra do quociente com numerador
e denominador
:
Calculando, obtemos
Como
só zera quando o numerador
, temos ponto crítico em
. O denominador nunca anula em
, então não há outros pontos críticos.
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Seja
e
. Então
Colocando sobre o mesmo denominador, resulta
Passo 4
Para localizar inflexões igualamos o numerador a zero:
Nessas abscissas a concavidade muda, confirmando pontos de inflexão em
e
.
Passo 5
Para classificar o ponto crítico em
, observe o sinal de
: se
, então
e
(função cresce); se
, então
e
(função decresce). Logo há um máximo local em
, com valor
Resposta
Ponto crítico em x=1 (máximo local) e pontos de inflexão em x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} e x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}.