Uma central telefônica de uma empresa recebe chamadas que tem um tempo (em minutos) distribuído uniformemente sobre o intervalo 0,5-5. Supondo que um dos troncos tenha recebido em um determinado dia 104 chamadas, calcule a probabilidade de que o tempo de utilização do tronco tenha ultrapassado 3,5 horas. (R.: 0,6624)

Passo 1

O enunciado diz que temos 104 chamadas num tronco e cada chamada tem duração uniformemente distribuída em (0,5; 5) minutos. Queremos a probabilidade de que a soma desses tempos exceda 3,5 horas (210 min). Vamos usar o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Para aplicar o TCL precisamos do valor esperado e da variância de uma única chamada. Se X ∼ Uniforme(a=0,5; b=5) então
E[X]=a+b2=0,5+52=2,75 minutos,
Var[X]=(b-a)^212=(5-0,5)^212=4,5^212=1,6875;(min^2)

Passo 3

Como as 104 chamadas são independentes, a soma S=∑_{i=1}^{104}X_i terá
E[S]=104cdot2,75=286 minutos,
Var[S]=104cdot1,6875=175,5;(min^2), σS=raiz175,5approx13,245

Passo 4

Pelo TCL, S≈N(286;13,245^2). Padronizando o valor de 210 min:
Z=210-28613,245approx-5,737

Passo 5

Portanto
P(S>210)=1-Φl(tfrac210-28613,245r)=1-Φ(-5,737)=Φ(5,737)approx0,9999999

Resposta

A probabilidade é praticamente 1 (aproximadamente 0,9999999).

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