Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.
a) Determinar a probabilidade de que a primeira falha ocorra após 3 horas de trabalho. (R.: 0,0111 )
b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? (R.: Não)

Passo 1

O enunciado diz que o tempo até a primeira falha, denotado por T, segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ, e sabemos que a probabilidade de não ocorrer falha em 1 hora é P(T>1)=0,22313. O que a questão pede: a) P(T>3) e b) verificar se P(T<0,5)=0,91. Para resolver, vamos usar as fórmulas da distribuição exponencial.

Passo 2

Na distribuição exponencial temos P(T>t)=e^{-λt}. Como P(T>1)=e^{-λ·1}=0,22313, basta isolar λ:
e^-λ=0,22313
Tomando logaritmo:
−λ=ln(0,22313)
λ=−ln(0,22313)
Calculando, obtemos λ≈1,5 (h^{-1}).

Passo 3

Para responder a parte (a), usamos P(T>3)=e^{-λ·3}. Substituindo λ=1,5:
P(T>3)=e^-1,5·3=e^-4,5≈0,0111089965
Arredondando, P(T>3)≈0,0111.

Passo 4

Para a parte (b), calculamos P(T<0{,}5)=1−P(T>0{,}5)=1−e^{-1{,}5·0{,}5}. Logo:
P(T<0,5)=1−e^-0,75≈1−0,47236655=0,52763345
Isso é muito menor que 0,91, portanto não podemos afirmar que P(T<0,5)=0,91.

Resposta

a) 0,0111
b) Não

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