Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual é a probabilidade de que mais de 30 destes utilize tal produto? (R.: 0,9535 )
Passo 1
O enunciado diz que em uma cidade 20% dos habitantes usam um produto da marca X e queremos saber, em uma amostra de 200 pessoas, a probabilidade de que mais de 30 delas usem esse produto. O conteúdo envolve distribuiçãо binomial e sua aproximação pela normal quando n é grande.
Passo 2
O número de usuários X na amostra segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 200 e p = 0,2. Como n é grande e tanto np = 40 quanto nq = 160 são maiores que 5, podemos usar a aproximação pela distribuição normal.
A média e o desvio padrão da binomial são dados por μ = np e σ = √(npq), onde q = 1 – p. Assim temos μ = 200·0,2 = 40 e σ = √(200·0,2·0,8) ≃ 5,6569.
A média e o desvio padrão da binomial são dados por μ = np e σ = √(npq), onde q = 1 – p. Assim temos μ = 200·0,2 = 40 e σ = √(200·0,2·0,8) ≃ 5,6569.
Passo 3
Para melhorar a aproximação, aplicamos a correção de continuidade. Queremos P(X > 30) na binomial, que vira P(X > 30,5) na normal.
Padronizando, definimos Z = (X – μ)/σ, logo para X = 30,5 temos Z = (30,5 – 40)/5,6569 ≃ –1,68.
Padronizando, definimos Z = (X – μ)/σ, logo para X = 30,5 temos Z = (30,5 – 40)/5,6569 ≃ –1,68.
Passo 4
Finalmente, P(X > 30,5) = P(Z > –1,68) = P(Z < 1,68) (pela simetria) e consultando a tabela da normal padrão obtemos ≃ 0,9535.
Resposta
0,9535