(5 pontos) Quantos números de 3 dígitos são maiores que 425 e:
(a) (1.5 ponto) tem todos os dígitos diférentes;
(b) ( 1.5 ponto) nāo têm dígitos iguais’a 1, 4 ou 5 .
(c) (2 ponto) têm as propriedades
e
simultaneamente.
(a) (1.5 ponto) tem todos os dígitos diférentes;
(b) ( 1.5 ponto) nāo têm dígitos iguais’a 1, 4 ou 5 .
(c) (2 ponto) têm as propriedades
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números de 3 dígitos maiores que
satisfazem três condições diferentes:
- (a) têm todos os dígitos diferentes;
- (b) não têm dígitos iguais a
, ou (ou seja, nenhum dos três dígitos pode ser , ou ); - (c) satisfazem simultaneamente (a) e (b).
Informações relevantes dadas:
- Consideramos apenas números de três dígitos maiores que
, ou seja, os inteiros de até . - Um número de três dígitos é determinado pelas posições: centena (hundreds), dezena (tens) e unidade (units). A centena não pode ser
. - Em (a) impõe-se distinção entre os três dígitos; em (b) impõe-se que nenhum dígito pertença ao conjunto
; em (c) ambas as restrições valem ao mesmo tempo.
Passo 2
Lembrete de contagem (regra do produto) que vamos usar: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, para cada uma delas, outra escolha pode ser feita de
maneiras independentes, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
maneiras. Para três posições multiplicamos três fatores. Quando há proibições (por exemplo “não pode ser este dígito”), subtrai-se essas opções do total de
dígitos
ou de
quando a posição não admite
.
Vou aplicar isso separando por valor do dígito das centenas quando necessário (especialmente para a centena
, porque o limite
cria um caso especial no intervalo
-
).
Passo 3
Resolução da parte (a): “todos os dígitos diferentes” e número
.
- Possibilidades para o dígito das centenas (
):
- Como o número deve ser maior que
, as centenas possíveis são . - Trato
separadamente (porque para só aceitamos números de a ), e em bloco.
- Caso
(números a ):
- O dígito das dezenas
deve corresponder a um número na parte final, portanto pode ser . Mas, como exigimos dígitos todos diferentes, não podemos ter . Assim, as opções de relevantes são: -
(caso específico): então a unidade deve ser para que o número seja . Os dígitos possíveis para são os elementos de , excluindo dígitos iguais a ou . Aqui e não estão em , então há exatamente escolhas para . -
(ou seja, todos os exceto ): são opções para . Para cada uma dessas escolhas, o dígito das unidades pode ser qualquer um dos dígitos menos os dois já usados ( e ), ou seja, opções. Logo esses contribuem com números.
-
- Somando os subcasos para
: números.
- Caso
:
- Para cada escolha de
(essas opções), não há restrição inferior extra (qualquer combinação de dezenas e unidades forma um número ). - Queremos todos os dígitos diferentes. Para a dezena
podemos escolher qualquer dígito de a exceto : isso dá opções (observe que pode ser ). Para a unidade restam opções (exceto e ). Assim, por cada há números. - Para os
valores de temos .
- Total da parte (a):
Passo 4
Resolução da parte (b): “não têm dígitos iguais a
,
ou
” (nenhum dos três dígitos pode ser
,
ou
), e número
.
-
Conjunto de dígitos permitidos por posição (dezenas e unidades):
. Esse conjunto tem elementos. Note que pode aparecer em dezenas ou unidades, mas não em centenas. -
Possibilidades para a centena
considerando o limite e a proibição de :
-
não pode ser . Além disso, para ser a centena deve ser pelo menos , porém é proibida; assim os possíveis são (os valores e resultariam em números menores que e é proibido). - Logo
, total de opções.
- Para cada
fixo:
- A dezena
pode ser qualquer um dos dígitos permitidos (incluindo e podendo repetir — aqui não há exigência de distinção). - A unidade
também pode ser qualquer um dos dígitos permitidos, independentemente de (repetições permitidas). - Portanto, para cada
existem números.
- Total da parte (b):
Passo 5
Resolução da parte (c): querem-se números que satisfaçam simultaneamente (a) todos os dígitos diferentes, e (b) não tenham dígitos
, além de serem
.
-
Como em (b), os dígitos permitidos (por posição) sem usar
são — dígitos. A centena deve ser e não pode ser , logo (4 opções). -
Para um
fixo (por exemplo ):
- A dezena
deve ser escolhida entre os dígitos permitidos excluindo . Assim, entre os dígitos permitidos restam opções para . - A unidade
deve ser escolhida entre os dígitos permitidos excluindo e , portanto opções para . - Pelo princípio do produto, para esse
há números.
- Como há
escolhas possíveis para , o total é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)