(5 pontos) Quantos números de 3 dígitos são maiores que 425 e:
(a) (1.5 ponto) tem todos os dígitos diférentes;
(b) ( 1.5 ponto) nāo têm dígitos iguais’a 1, 4 ou 5 .
(c) (2 ponto) têm as propriedades a e b simultaneamente.

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de 3 dígitos maiores que 425 satisfazem três condições diferentes:
  • (a) têm todos os dígitos diferentes;
  • (b) não têm dígitos iguais a 1, 4 ou 5 (ou seja, nenhum dos três dígitos pode ser 1, 4 ou 5);
  • (c) satisfazem simultaneamente (a) e (b).
Informações relevantes dadas:
  • Consideramos apenas números de três dígitos maiores que 425, ou seja, os inteiros de 426 até 999.
  • Um número de três dígitos é determinado pelas posições: centena (hundreds), dezena (tens) e unidade (units). A centena não pode ser 0.
  • Em (a) impõe-se distinção entre os três dígitos; em (b) impõe-se que nenhum dígito pertença ao conjunto \{1,4,5\}; em (c) ambas as restrições valem ao mesmo tempo.

Passo 2

Lembrete de contagem (regra do produto) que vamos usar: se uma escolha pode ser feita de A maneiras e, para cada uma delas, outra escolha pode ser feita de B maneiras independentes, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de A\cdot B maneiras. Para três posições multiplicamos três fatores. Quando há proibições (por exemplo “não pode ser este dígito”), subtrai-se essas opções do total de 10 dígitos \{0,\dots,9\} ou de 9 quando a posição não admite 0.
Vou aplicar isso separando por valor do dígito das centenas quando necessário (especialmente para a centena 4, porque o limite >425 cria um caso especial no intervalo 400- 499).

Passo 3

Resolução da parte (a): “todos os dígitos diferentes” e número >425.
  1. Possibilidades para o dígito das centenas ( h):
  • Como o número deve ser maior que 425, as centenas possíveis são h\in\{4,5,6,7,8,9\}.
  • Trato h=4 separadamente (porque para h=4 só aceitamos números de 426 a 499), e h=5,6,7,8,9 em bloco.
  1. Caso h=4 (números 426 a 499):
  • O dígito das dezenas t deve corresponder a um número \ge 26 na parte final, portanto t pode ser 2,3,4,5,6,7,8,9. Mas, como exigimos dígitos todos diferentes, não podemos ter t=4. Assim, as opções de t relevantes são:
    • t=2 (caso específico): então a unidade u deve ser \ge 6 para que o número seja \ge 426. Os dígitos possíveis para u são os elementos de \{6,7,8,9\}, excluindo dígitos iguais a h ou t. Aqui h=4 e t=2 não estão em \{6,7,8,9\}, então há exatamente 4 escolhas para u.
    • t\in\{3,5,6,7,8,9\} (ou seja, todos os t>2 exceto 4): são 6 opções para t. Para cada uma dessas escolhas, o dígito das unidades u pode ser qualquer um dos 10 dígitos menos os dois já usados ( h e t), ou seja, 10-2=8 opções. Logo esses t contribuem com 6\cdot 8 = 48 números.
  • Somando os subcasos para h=4: 4 + 48 = 52 números.
  1. Caso h\in\{5,6,7,8,9\}:
  • Para cada escolha de h (essas 5 opções), não há restrição inferior extra (qualquer combinação de dezenas e unidades forma um número >425).
  • Queremos todos os dígitos diferentes. Para a dezena t podemos escolher qualquer dígito de 0 a 9 exceto h: isso dá 9 opções (observe que t pode ser 0). Para a unidade u restam 10-2=8 opções (exceto h e t). Assim, por cada h 9\cdot 8 = 72 números.
  • Para os 5 valores de h temos 5\cdot 72 = 360.
  1. Total da parte (a):
52 + 360 = 412.

Passo 4

Resolução da parte (b): “não têm dígitos iguais a 1, 4 ou 5” (nenhum dos três dígitos pode ser 1, 4 ou 5), e número >425.
  1. Conjunto de dígitos permitidos por posição (dezenas e unidades): \{0,2,3,6,7,8,9\}. Esse conjunto tem 7 elementos. Note que 0 pode aparecer em dezenas ou unidades, mas não em centenas.
  2. Possibilidades para a centena h considerando o limite >425 e a proibição de 1,4,5:
  • h não pode ser 1,4,5. Além disso, para ser >425 a centena deve ser pelo menos 5, porém 5 é proibida; assim os possíveis h são 6,7,8,9 (os valores 2 e 3 resultariam em números menores que 425 e 4 é proibido).
  • Logo h\in\{6,7,8,9\}, total de 4 opções.
  1. Para cada h fixo:
  • A dezena t pode ser qualquer um dos 7 dígitos permitidos (incluindo 0 e podendo repetir h — aqui não há exigência de distinção).
  • A unidade u também pode ser qualquer um dos 7 dígitos permitidos, independentemente de t (repetições permitidas).
  • Portanto, para cada h existem 7\cdot 7 = 49 números.
  1. Total da parte (b):
4\cdot 49 = 196.

Passo 5

Resolução da parte (c): querem-se números que satisfaçam simultaneamente (a) todos os dígitos diferentes, e (b) não tenham dígitos 1,4,5, além de serem >425.
  1. Como em (b), os dígitos permitidos (por posição) sem usar 1,4,5 são \{0,2,3,6,7,8,9\} 7 dígitos. A centena h deve ser \ge 6 e não pode ser 1,4,5, logo h\in\{6,7,8,9\} (4 opções).
  2. Para um h fixo (por exemplo h=6):
  • A dezena t deve ser escolhida entre os dígitos permitidos excluindo h. Assim, entre os 7 dígitos permitidos restam 7-1=6 opções para t.
  • A unidade u deve ser escolhida entre os dígitos permitidos excluindo h e t, portanto 7-2=5 opções para u.
  • Pelo princípio do produto, para esse h 6\cdot 5 = 30 números.
  1. Como há 4 escolhas possíveis para h, o total é
4\cdot 30 = 120.

Resposta

(a) 412
(b) 196
(c) 120

Exercícios relacionados