A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por
F(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text { se } x<0 \\\ \left(3 x^{2}-x^{3}\right) / 2, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição (CDF) F(x)\) de uma variável aleatória \(X\): \[F(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x<0,\\[4pt] \displaystyle\frac{3x^{2}-x^{3}}{2}, & \text{se } 0\le x<1,\\[6pt] 1, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
O que nos pedem:
\text{Calcular } \mathbb{E}(X) \quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • F(x)=0\] para \(x<0.
  • F(x)=\dfrac{3x^{2}-x^{3}}{2} para 0\le x<1.
  • F(x)=1 para x\ge 1.
  • A CDF está especificada em todo o eixo real, logo a variável é contínua com suporte em [0,1] (já que fora desse intervalo F é constante).]

Passo 2

Transformando a CDF em PDF (aula rápida): se F\) é diferenciável num intervalo, a densidade de probabilidade \(f(x)\) é a derivada de \(F\), isto é \[f(x)=F'(x)
para os pontos onde F é diferenciável. Aqui F é diferenciável em 0<x<1. Vamos derivar a expressão dada para 0\le x<1:
F(x)=\frac{3x^{2}-x^{3}}{2}.
Derivando termo a termo (lembre: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
F'(x)=\frac{1}{2}\big(6x-3x^{2}\big)=\frac{6x-3x^{2}}{2}.
Portanto a densidade é
f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{6x-3x^{2}}{2}, & 0<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Podemos simplificar:
f(x)=\frac{3}{2}x(2-x),\quad 0<x<1.
Verificação rápida (checar que f\] é uma PDF válida): \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{6x-3x^{2}}{2}\,dx.
Calculemos:
\int_{0}^{1}\frac{6x-3x^{2}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left(6\int_0^1 x\,dx -3\int_0^1 x^{2}\,dx\right) =\frac{1}{2}\left(6\cdot\frac{1}{2}-3\cdot\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}\left(3-1\right)=1,
logo está tudo certo: f é não-negativa e integra 1.]

Passo 3

Fórmula para esperança (aula prática): para variável contínua com densidade f,
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f é zero fora de [0,1], reduzimos a integral ao intervalo [0,1]:
\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{1} x\cdot\frac{6x-3x^{2}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (6x^{2}-3x^{3})\,dx.
Calculemos passo a passo:
\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx=6\cdot\frac{1}{3}=2, \qquad \int_{0}^{1}3x^{3}\,dx=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Logo
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}\left(2-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{8}.
Portanto \mathbb{E}(X)=\dfrac{5}{8}.

Passo 4

Precisamos de \mathbb{E}(X^{2}) para calcular a variância. Fórmula:
\mathbb{E}(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx =\int_{0}^{1} x^{2}\cdot\frac{6x-3x^{2}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(6x^{3}-3x^{4})\,dx.
Calculemos as integrais:
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \qquad \int_{0}^{1}3x^{4}\,dx=3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.
Então
\mathbb{E}(X^{2})=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{15}{10}-\frac{6}{10}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{10}=\frac{9}{20}.

Passo 5

Agora a variância (aula curta): para qualquer variável,
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\big(\mathbb{E}(X)\big)^{2}.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{Var}(X)=\frac{9}{20}-\left(\frac{5}{8}\right)^{2}.
Calculemos \left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}=\dfrac{25}{64}. Para subtrair, usem um denominador comum, por exemplo 320:
\frac{9}{20}=\frac{9\cdot16}{20\cdot16}=\frac{144}{320},\qquad \frac{25}{64}=\frac{25\cdot5}{64\cdot5}=\frac{125}{320}.
Logo
\operatorname{Var}(X)=\frac{144}{320}-\frac{125}{320}=\frac{19}{320}.
Se quiser uma aproximação decimal: \dfrac{19}{320}=0{,}059375.

Resposta

\mathbb{E}(X)=\dfrac{5}{8}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{19}{320}

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