Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que em um minuto se tenha:
exatamente cinco chamadas;
exatamente cinco chamadas;
Passo 1
O enunciado dá que o número de chamadas por minuto segue uma distribuição de Poisson com média de oito chamadas por minuto. A pergunta é: qual a probabilidade de que em um minuto ocorram exatamente cinco chamadas?
Informações relevantes fornecidas:
- Média por minuto:
. - Queremos a probabilidade de exatamente
chamadas, ou seja .
Passo 2
Vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que usamos. A variável aleatória
que conta o número de eventos em um intervalo (aqui, número de chamadas em 1 minuto) quando segue Poisson com parâmetro
tem a massa de probabilidade
onde:
-
é a média esperada de eventos no intervalo (aqui ); -
é o número de eventos cujo \emph{probabilidade queremos} (aqui ); -
é o fatorial de (produto ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Breve intuição (sem formalidades): Poisson é apropriado quando contamos chegadas independentes que ocorrem a uma taxa média constante — é exatamente o caso de chamadas chegando a uma central.
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 4
Calculemos passo a passo os componentes numéricos que cabem fazer à mão:
-
. -
. -
. -
. -
.
Agora a fração:
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 5
Agora precisamos multiplicar por
. Um valor numérico conhecido (ou obtido por calculadora/tabela) é
Portanto
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar a resposta com quatro casas decimais:
Passo 6
Interpretação rápida: a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 chamadas quando a média é 8 é cerca de
. Se for preciso apresentar o valor exato simbólico, usaríamos