Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que em um minuto se tenha:
exatamente cinco chamadas;

Passo 1

O enunciado dá que o número de chamadas por minuto segue uma distribuição de Poisson com média de oito chamadas por minuto. A pergunta é: qual a probabilidade de que em um minuto ocorram exatamente cinco chamadas?
Informações relevantes fornecidas:
  • Média por minuto: \lambda=8.
  • Queremos a probabilidade de exatamente 5 chamadas, ou seja k=5.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson e a fórmula que usamos. A variável aleatória X que conta o número de eventos em um intervalo (aqui, número de chamadas em 1 minuto) quando segue Poisson com parâmetro \lambda tem a massa de probabilidade
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=8);
  • k é o número de eventos cujo \emph{probabilidade queremos} (aqui k=5);
  • k! é o fatorial de k (produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot k);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2{,}71828).
Breve intuição (sem formalidades): Poisson é apropriado quando contamos chegadas independentes que ocorrem a uma taxa média constante — é exatamente o caso de chamadas chegando a uma central.

Passo 3

Substituindo \lambda=8 e k=5 na fórmula:
P(X=5)=e^{-8}\frac{8^{5}}{5!}.

Passo 4

Calculemos passo a passo os componentes numéricos que cabem fazer à mão:
  • 8^{2}=64.
  • 8^{3}=8^{2}\cdot8=64\cdot8=512.
  • 8^{4}=512\cdot8=4096.
  • 8^{5}=4096\cdot8=32768.
  • 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120.
Agora a fração:
\frac{8^{5}}{5!}=\frac{32768}{120}.
Podemos simplificar dividindo por 8:
\frac{32768}{120}=\frac{4096}{15}\approx273{,}066666\ldots

Passo 5

Agora precisamos multiplicar por e^{-8}. Um valor numérico conhecido (ou obtido por calculadora/tabela) é
e^{-8}\approx0{,}0003354626279.
Portanto
P(X=5)=e^{-8}\frac{4096}{15}\approx0{,}0003354626279\times273{,}066666\ldots\approx0{,}0916037.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar a resposta com quatro casas decimais:
P(X=5)\approx0{,}0916.

Passo 6

Interpretação rápida: a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 chamadas quando a média é 8 é cerca de 9{,}16\%. Se for preciso apresentar o valor exato simbólico, usaríamos
P(X=5)=e^{-8}\frac{8^{5}}{5!}.

Resposta

0{,}0916

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