Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que em um minuto se tenha:
no máximo uma chamada;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • A distribuição do número de chamadas em um minuto é de Poisson com média \lambda = 8 chamadas por minuto.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que, em um minuto, ocorra no máximo uma chamada (ou seja, zero ou uma chamada).

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pressa).
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrência de um número inteiro k de eventos em um intervalo fixo quando esses eventos ocorrem com taxa média \lambda e independentemente.
  • A função massa de probabilidade da Poisson é dada por
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos (aqui, chamadas) no intervalo considerado;
  • \lambda é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo (aqui \lambda=8);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828);
  • k! é o fatorial de k, isto é, k!=k\cdot(k-1)\cdots1 e por definição 0!=1.
  • Portanto, para calcular probabilidades na Poisson basta substituir \lambda e k nessa fórmula e somar quando for “no máximo” (ou seja, soma de probabilidades).

Passo 3

Aplicando ao pedido “no máximo uma chamada”: isso é \Pr(X\le 1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1).
Usando a fórmula com \lambda=8:
\Pr(X=0)=e^{-8}\,\frac{8^{0}}{0!}=e^{-8}\cdot 1 = e^{-8},
\Pr(X=1)=e^{-8}\,\frac{8^{1}}{1!}=e^{-8}\cdot 8 = 8e^{-8}.
Somando:
\Pr(X\le 1)=e^{-8}+8e^{-8}=9e^{-8}.

Passo 4

Calculemos o valor numérico para termos uma noção prática.
  • Primeiro, e^{-8} aproximadamente vale 0{,}0003354626 (pode obter esse valor em uma calculadora ou tabela de e^x).
  • Então
\Pr(X\le 1)=9e^{-8}\approx 9\times 0{,}0003354626 \approx 0{,}00301916.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 0{,}3019\%. Interpretação rápida: com média 8 chamadas por minuto, é muito pouco provável ter no máximo uma chamada num minuto — faz sentido intuitivo.

Resposta

\;9e^{-8}
\;\approx 0{,}00301916

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