No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01,02, \ldots, 60. O apostador escolhe 6 dessas dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5
(quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador fazer:
a Sena Principal.

Passo 1

O enunciado dá que são sorteadas 6 dezenas distintas dentre as dezenas 01,02,\ldots,60. O apostador escolhe 6 dezenas. A pergunta: determinar a probabilidade de o apostador acertar as 6 dezenas sorteadas (fazer a Sena Principal).
Informações relevantes:
  • Universo de dezenas: 60 dezenas.
  • São sorteadas 6 dezenas distintas.
  • O apostador escolhe 6 dezenas.
  • Queremos a probabilidade de as 6 dezenas escolhidas pelo apostador serem exatamente as 6 sorteadas.

Passo 2

Modelo e espaço amostral: Cada sorteio é uma escolha de 6 dezenas dentre 60, sem ordem (a ordem em que saem não importa para o prêmio). Assim todos os conjuntos de 6 dezenas são equiprováveis e o número total de resultados possíveis (tamanho do espaço amostral) é o número de combinações de 60 elementos tomados de 6 em 6, isto é
\binom{60}{6}=\frac{60!}{6!\,54!}.
Explicação didática rápida: \binom{60}{6} conta o número de subconjuntos de 6 elementos que podem ser formados a partir de 60. A notação n! significa fatorial de n, produto n\cdot(n-1)\cdots1.

Passo 3

Eventos favoráveis: Para o apostador acertar as 6 dezenas, o conjunto sorteado deve coincidir exatamente com o conjunto de 6 dezenas escolhido por ele. Há exatamente um conjunto sorteável que coincide com a aposta do jogador. Portanto o número de resultados favoráveis é 1.
Motivação intuitiva: entre todos os conjuntos de 6 dezenas possíveis, só um deles é a mesma combinação que o apostador marcou.

Passo 4

Fórmula da probabilidade: Probabilidade = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis). Então
P(\text{Sena})=\frac{1}{\binom{60}{6}}.

Passo 5

Cálculo numérico de \binom{60}{6} de forma conveniente, simplificando antes de multiplicar:
\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar fator a fator:
\frac{60}{6}=10,\qquad \frac{58}{2}=29,\qquad \frac{57}{3}=19,\qquad \frac{56}{4}=14,\qquad \frac{55}{5}=11.
Fica então
\binom{60}{6}=10\cdot59\cdot29\cdot19\cdot14\cdot11.
Calculando passo a passo:
10\cdot59=590,
590\cdot29=17\,110,
17\,110\cdot19=325\,090,
325\,090\cdot14=4\,551\,260,
4\,551\,260\cdot11=50\,063\,860.
Portanto
\binom{60}{6}=50\,063\,860.

Passo 6

Concluindo a probabilidade:
P(\text{Sena})=\frac{1}{50\,063\,860}\approx 1{,}998\times10^{-8}.
Interpretação rápida e motivação: a chance é extremamente pequena — cerca de duas em cem milhões — o que explica por que o prêmio principal é raro.

Resposta

\displaystyle P(\text{Sena})=\frac{1}{\binom{60}{6}}=\frac{1}{50\,063\,860}\approx 1{,}998\times10^{-8}

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