Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que em um minuto se tenha:
pelo menos duas chamadas.

Passo 1

O enunciado dá que o número de chamadas que chegam em um minuto segue uma distribuição de Poisson com média igual a oito chamadas por minuto. Ou seja, temos uma variável aleatória discreta X tal que:
X \sim \text{Poisson}(\lambda),
com \lambda = 8 (média por minuto).
A pergunta é: determinar a probabilidade de que em um minuto ocorram “pelo menos duas chamadas”. Em notação probabilística, isso é:
\mathbb{P}(X \ge 2).

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos: para uma variável X com distribuição de Poisson de parâmetro \lambda, a probabilidade de X assumir exatamente k ocorrências é dada por
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots);
  • \lambda é a média (aqui \lambda=8);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 1! = 1, 0! = 1).
Essa é a fórmula básica do Poisson; cada termo representa a chance de ocorrer exatamente k eventos num intervalo quando esses eventos são raros e independentes.

Passo 3

Para calcular \mathbb{P}(X\ge 2) é mais simples usar o complemento, porque somar todas as probabilidades de k=2,3,\dots é trabalhoso. O complemento diz:
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-\mathbb{P}(X\le 1)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\big).
Isso reduz muito o trabalho porque \mathbb{P}(X=0) e \mathbb{P}(X=1) são fáceis de calcular com a fórmula do Poisson.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(X=0) e \mathbb{P}(X=1) usando \lambda=8.
Para k=0:
\mathbb{P}(X=0)=e^{-8}\,\frac{8^{0}}{0!}=e^{-8}\cdot 1 = e^{-8}.
Para k=1:
\mathbb{P}(X=1)=e^{-8}\,\frac{8^{1}}{1!}=e^{-8}\cdot 8 = 8e^{-8}.
Somando:
\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)=e^{-8}+8e^{-8}=9e^{-8}.
Portanto:
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-9e^{-8}.

Passo 5

Agora faço a avaliação numérica. Primeiro anotar o valor de e^{-8}. Usando uma aproximação padrão:
e^{-8}\approx 0,0003354626.
Multiplicando por 9:
9e^{-8}\approx 9\times 0,0003354626 \approx 0,0030191634.
Finalmente:
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-9e^{-8}\approx 1-0,0030191634 \approx 0,9969808366.
Arredondando de forma prática (por exemplo, 4 casas decimais) temos \approx 0,99698.

Passo 6

Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, com média de 8 chamadas por minuto, a chance de receber pelo menos duas chamadas em um minuto é extremamente alta (aproximadamente 99,7\%). Boa notícia para a prova: o truque do complemento costuma aparecer bastante e simplifica muito os cálculos — memorize esse passo!

Resposta

0,9969808366 (aprox.)

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