Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que em um minuto se tenha:
pelo menos duas chamadas.
pelo menos duas chamadas.
Passo 1
O enunciado dá que o número de chamadas que chegam em um minuto segue uma distribuição de Poisson com média igual a oito chamadas por minuto. Ou seja, temos uma variável aleatória discreta
tal que:
com
(média por minuto).
A pergunta é: determinar a probabilidade de que em um minuto ocorram “pelo menos duas chamadas”. Em notação probabilística, isso é:
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos: para uma variável
com distribuição de Poisson de parâmetro
, a probabilidade de
assumir exatamente
ocorrências é dada por
onde:
-
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é a média (aqui ); -
é o fatorial de (por exemplo, , ).
Essa é a fórmula básica do Poisson; cada termo representa a chance de ocorrer exatamente
eventos num intervalo quando esses eventos são raros e independentes.
Passo 3
Para calcular
é mais simples usar o complemento, porque somar todas as probabilidades de
é trabalhoso. O complemento diz:
Isso reduz muito o trabalho porque
e
são fáceis de calcular com a fórmula do Poisson.
Passo 4
Calcular
e
usando
.
Para
:
Para
:
Somando:
Portanto:
Passo 5
Agora faço a avaliação numérica. Primeiro anotar o valor de
. Usando uma aproximação padrão:
Multiplicando por
:
Finalmente:
Arredondando de forma prática (por exemplo, 4 casas decimais) temos
.
Passo 6
Interpretação rápida e ânimo: isso significa que, com média de
chamadas por minuto, a chance de receber pelo menos duas chamadas em um minuto é extremamente alta (aproximadamente
). Boa notícia para a prova: o truque do complemento costuma aparecer bastante e simplifica muito os cálculos — memorize esse passo!