Joga-se uma moeda não-viciada 7 vezes. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5 coroas antes de 3 caras?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Joga-se uma moeda não-viciada (logo a probabilidade de coroa em cada lançamento é
e de cara também é ). - Fazem-se até
lançamentos (mas o evento que interessa pode acontecer antes de completar os 7). - Queremos a probabilidade de que se obtenham
coroas antes de se obterem caras.
Informações relevantes que vou usar (pegas do enunciado):
- Probabilidade de coroa em cada lançamento:
. - Meta para coroas:
. - Meta para caras:
. - O experimento tem no máximo
lançamentos.
Passo 2
Interpretação do evento “obter 5 coroas antes de 3 caras” e ideia geral (sem calcular ainda):
- O evento “5 coroas antes de 3 caras” significa que o momento em que atingimos
coroas ocorre em um lançamento anterior ao momento em que atingiríamos caras. Nesse caso, no instante em que aparece a -ª coroa o número de caras já observadas deve ser , ou (não pode ser ou mais). - Se a
-ª coroa aparece no lançamento número , então necessariamente ou . Porque para ter 5 coroas são necessários pelo menos 5 lançamentos, e se houver 3 caras antes de completar 5 coroas o evento não ocorre; portanto, só faz sentido ter aqui. - Vamos parametrizar: seja
o número de caras observadas até o momento em que aparece a -ª coroa. Então e o lançamento da -ª coroa ocorre no lançamento .
A estratégia será contar, para cada
, quantas sequências de lançamentos têm exatamente
caras e a
-ª coroa no último lançamento, calcular a probabilidade de cada sequência e somar.
Passo 3
Contagem combinatória e fórmula para cada caso
:
- Para um dado
, o total de lançamentos até a -ª coroa é . - Para que a
-ª coroa ocorra exatamente no lançamento , nos primeiros lançamentos devem aparecer exatamente coroas (pois a -ª aparece no último) e, portanto, exatamente caras. - O número de sequências possíveis para os primeiros
lançamentos com exatamente coroas e caras é o número de maneiras de escolher as posições das coroas entre os lançamentos, que é o coeficiente binomial Aqui . Cada uma dessas sequências é seguida do lançamento que deve ser coroa. - Como a moeda é justa, a probabilidade de qualquer sequência específica de
resultados (por exemplo, uma sequência particular de coroas e caras) vale .
Portanto, para um dado
(com
), a probabilidade de ocorrer exatamente esse padrão (4 coroas nos primeiros
e coroa no
-ésimo) é
Passo 4
Aplicar a fórmula para
e somar:
-
Caso
: . Temos -
Caso
: . Temos -
Caso
: . Temos
Somando as três probabilidades:
Colocando tudo com denominador
:
Em decimal isso é
.
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida (intuída):
- O resultado
faz sentido numericamente: é menos de , ou seja, é relativamente improvável alcançar coroas antes de caras quando ambos têm chance em cada lançamento — porque 3 caras podem aparecer antes de completar 5 coroas em muitos padrões. - Método alternativo possível seria montar equações de recursão para a probabilidade condicional dependendo do número atual de coroas e caras (método de estados), e isso daria o mesmo resultado; aqui a contagem direta pelo momento da
-ª coroa é mais rápida e direta.