Joga-se uma moeda não-viciada 7 vezes. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5 coroas antes de 3 caras?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Joga-se uma moeda não-viciada (logo a probabilidade de coroa em cada lançamento é \tfrac{1}{2} e de cara também é \tfrac{1}{2}).
  • Fazem-se até 7 lançamentos (mas o evento que interessa pode acontecer antes de completar os 7).
  • Queremos a probabilidade de que se obtenham 5 coroas antes de se obterem 3 caras.
Informações relevantes que vou usar (pegas do enunciado):
  • Probabilidade de coroa em cada lançamento: \tfrac{1}{2}.
  • Meta para coroas: 5.
  • Meta para caras: 3.
  • O experimento tem no máximo 7 lançamentos.

Passo 2

Interpretação do evento “obter 5 coroas antes de 3 caras” e ideia geral (sem calcular ainda):
  • O evento “5 coroas antes de 3 caras” significa que o momento em que atingimos 5 coroas ocorre em um lançamento anterior ao momento em que atingiríamos 3 caras. Nesse caso, no instante em que aparece a 5-ª coroa o número de caras já observadas deve ser 0, 1 ou 2 (não pode ser 3 ou mais).
  • Se a 5-ª coroa aparece no lançamento número n, então necessariamente n=5,6 ou 7. Porque para ter 5 coroas são necessários pelo menos 5 lançamentos, e se houver 3 caras antes de completar 5 coroas o evento não ocorre; portanto, só faz sentido ter n\le 7 aqui.
  • Vamos parametrizar: seja r o número de caras observadas até o momento em que aparece a 5-ª coroa. Então r\in\{0,1,2\} e o lançamento da 5-ª coroa ocorre no lançamento n=5+r.
A estratégia será contar, para cada r\in\{0,1,2\}, quantas sequências de lançamentos têm exatamente r caras e a 5-ª coroa no último lançamento, calcular a probabilidade de cada sequência e somar.

Passo 3

Contagem combinatória e fórmula para cada caso r:
  • Para um dado r, o total de lançamentos até a 5-ª coroa é n=5+r.
  • Para que a 5-ª coroa ocorra exatamente no lançamento n, nos primeiros n-1 lançamentos devem aparecer exatamente 4 coroas (pois a 5-ª aparece no último) e, portanto, exatamente r caras.
  • O número de sequências possíveis para os primeiros n-1 lançamentos com exatamente 4 coroas e r caras é o número de maneiras de escolher as posições das 4 coroas entre os n-1 lançamentos, que é o coeficiente binomial \binom{n-1}{4}.Aqui \binom{n-1}{4}=\dfrac{(n-1)!}{4!(n-5)!}. Cada uma dessas sequências é seguida do lançamento n que deve ser coroa.
  • Como a moeda é justa, a probabilidade de qualquer sequência específica de n resultados (por exemplo, uma sequência particular de coroas e caras) vale \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Portanto, para um dado r (com n=5+r), a probabilidade de ocorrer exatamente esse padrão (4 coroas nos primeiros n-1 e coroa no n-ésimo) é
\binom{n-1}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para r=0,1,2 e somar:
  • Caso r=0: n=5. Temos
    \binom{5-1}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\binom{4}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=1\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32}.
  • Caso r=1: n=6. Temos
    \binom{6-1}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\binom{5}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=5\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{5}{64}.
  • Caso r=2: n=7. Temos
    \binom{7-1}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=\binom{6}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=15\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=\tfrac{15}{128}.
Somando as três probabilidades:
\frac{1}{32}+\frac{5}{64}+\frac{15}{128}.
Colocando tudo com denominador 128:
\frac{4}{128}+\frac{10}{128}+\frac{15}{128}=\frac{29}{128}.
Em decimal isso é \dfrac{29}{128}\approx 0{,}2265625.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida (intuída):
  • O resultado \dfrac{29}{128} faz sentido numericamente: é menos de 1/4, ou seja, é relativamente improvável alcançar 5 coroas antes de 3 caras quando ambos têm chance 1/2 em cada lançamento — porque 3 caras podem aparecer antes de completar 5 coroas em muitos padrões.
  • Método alternativo possível seria montar equações de recursão para a probabilidade condicional dependendo do número atual de coroas e caras (método de estados), e isso daria o mesmo resultado; aqui a contagem direta pelo momento da 5-ª coroa é mais rápida e direta.

Resposta

\dfrac{29}{128}

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