Clientes chegam em uma cabine do tipo drive-thru de uma lanchonete a uma taxa de 2 clientes por minuto, durante o horário de almoço.
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 5 minutos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 5 minutos.
Informações dadas: a taxa de chegada é de 2 clientes por minuto e o intervalo de interesse é de 5 minutos.

Passo 2

Escolhemos modelar o número de chegadas por um processo de Poisson porque: chegadas de clientes em filas/drive-thru costumam ser modeladas como eventos independentes que ocorrem a uma taxa média constante. Nesse modelo o número de chegadas em um intervalo de tempo fixo segue a distribuição de Poisson com parâmetro igual à taxa média multiplicada pelo tempo.
Definições importantes (aulas rápidas):
  • Seja X o número de clientes que chegam em 5 minutos.
  • O parâmetro médio (valor esperado) da Poisson é \mu = \lambda t, onde \lambda é a taxa por unidade de tempo e t é o comprimento do intervalo. Aqui \lambda=2 (clientes/minuto) e t=5 (minutos), logo \mu = 2\cdot 5 = 10.
  • A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde k é um número inteiro não negativo, \mu é o valor esperado (a média), e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k.

Passo 3

Queremos P(X\ge 2). É mais fácil calcular o complemento:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr).
Isso evita somar muitas probabilidades: só precisamos de P(X=0) e P(X=1).

Passo 4

Calculemos P(X=0) e P(X=1) usando a fórmula da Poisson com \mu=10:
P(X=0)=e^{-10}\frac{10^{0}}{0!}=e^{-10},
P(X=1)=e^{-10}\frac{10^{1}}{1!}=10e^{-10}.
Somando:
P(X=0)+P(X=1)=e^{-10}+10e^{-10}=11e^{-10}.
Portanto
P(X\ge 2)=1-11e^{-10}.
Este é o resultado exato em termos de e.

Passo 5

Agora uma aproximação numérica (útil para interpretar):
Sabendo que e^{-10}\approx 0,00004539992976248485, temos
11e^{-10}\approx 11\cdot 0,00004539992976248485\approx 0,0004993992273873334,
e então
P(X\ge 2)\approx 1-0,0004993992273873334\approx 0,9995006007726127.
Arredondando, a probabilidade é aproximadamente 0,9995. Ou seja, é praticamente certa (isso faz sentido: a média em 5 minutos é 10 chegadas, então ter pelo menos 2 é quase garantido).

Resposta

1-11e^{-10}\approx 0,9995006

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