Clientes chegam em uma cabine do tipo drive-thru de uma lanchonete a uma taxa de 2 clientes por minuto, durante o horário de almoço.
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 5 minutos?
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 5 minutos?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 5 minutos.
Informações dadas: a taxa de chegada é de clientes por minuto e o intervalo de interesse é de
minutos.
Informações dadas: a taxa de chegada é de
Passo 2
Escolhemos modelar o número de chegadas por um processo de Poisson porque: chegadas de clientes em filas/drive-thru costumam ser modeladas como eventos independentes que ocorrem a uma taxa média constante. Nesse modelo o número de chegadas em um intervalo de tempo fixo segue a distribuição de Poisson com parâmetro igual à taxa média multiplicada pelo tempo.
Definições importantes (aulas rápidas):
Definições importantes (aulas rápidas):
- Seja
o número de clientes que chegam em minutos. - O parâmetro médio (valor esperado) da Poisson é
, onde é a taxa por unidade de tempo e é o comprimento do intervalo. Aqui (clientes/minuto) e (minutos), logo . - A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde
é um número inteiro não negativo,
é o valor esperado (a média),
é a base dos logaritmos naturais, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Queremos
. É mais fácil calcular o complemento:
Isso evita somar muitas probabilidades: só precisamos de
e
.
Passo 4
Calculemos
e
usando a fórmula da Poisson com
:
Somando:
Portanto
Este é o resultado exato em termos de
.
Passo 5
Agora uma aproximação numérica (útil para interpretar):
Sabendo que , temos
Sabendo que
e então
Arredondando, a probabilidade é aproximadamente
. Ou seja, é praticamente certa (isso faz sentido: a média em 5 minutos é
chegadas, então ter pelo menos 2 é quase garantido).