Uma centrífuga parte do repouso e acelera com aceleração angular constante \alpha durante um intervalo de tempo t_{1}, até atingir uma velocidade angular \omega. A partir desse ponto, ela mantém essa velocidade angular constante por mais t_{2} segundos. Quantas voltas completas a centrífuga realiza no total, desde o inicio do movimento até o final do intervalo de tempo t_{1}+t_{2} ?
(a) \frac{\alpha\left(t_{2}-t_{1}\right)}{4 \pi}\left(\frac{t_{1}}{2}+t_{2}\right)
(b) \frac{\alpha\left(t_{2}-t_{1}\right)}{4 \pi}\left(t_{1}+t_{2}\right)
(c) \frac{\alpha t_{2}}{2 \pi}\left(t_{1}+t_{2}\right)
(d) \frac{\alpha t_{1}}{2 \pi}\left(\frac{t_{1}}{2}+t_{2}\right)
(e) \frac{\alpha t_{1}}{2 \pi}\left(t_{1}+t_{2}\right) -

Passo 1

O enunciado pede: quantas voltas completas a centrífuga realiza no total, desde o início (repouso) até o instante t_1+t_2.
Dados fornecidos (listei tudo claramente):
  • aceleração angular constante: \alpha (durante o intervalo inicial de duração t_1);
  • a centrífuga parte do repouso, ou seja a velocidade angular inicial é \omega_0=0;
  • após o tempo t_1 atinge uma velocidade angular \omega e mantém essa velocidade constante por mais t_2 segundos;
  • precisamos o número de voltas completas (ou seja, o número de revoluções inteiras) em todo o intervalo total t_1+t_2.

Passo 2

Vamos usar as fórmulas básicas do movimento angular com aceleração constante. Vou explicar cada fórmula e o que cada símbolo significa.
A velocidade angular em função do tempo é dada por
\omega=\omega_0+\alpha t,
onde \omega é a velocidade angular num dado instante (em rad/s), \omega_0 é a velocidade angular inicial (em rad/s), \alpha é a aceleração angular constante (em rad/s ^2) e t é o tempo desde o início (em s).
O deslocamento angular (ângulo girado) é dado por
\theta=\theta_0+\omega_0 t+\tfrac{1}{2}\alpha t^2,
onde \theta é o deslocamento angular em radianos, \theta_0 é o deslocamento inicial (aqui \theta_0=0), e os demais símbolos já foram definidos.
Observação prática: o deslocamento \theta vem em radianos; para converter para número de voltas completas dividimos por 2\pi, pois uma volta completa corresponde a 2\pi rad.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \omega atingida ao final do intervalo de aceleração t_1. Como a centrífuga parte do repouso ( \omega_0=0), aplicando \omega=\omega_0+\alpha t com t=t_1 temos
\omega=\alpha t_1.
Isso faz sentido: aceleração constante multiplica o tempo para dar a velocidade alcançada.

Passo 4

Calcular o deslocamento angular durante o período de aceleração (do tempo 0 até t_1). Usando \theta=\theta_0+\omega_0 t+\tfrac{1}{2}\alpha t^2 com \theta_0=0 e \omega_0=0, e t=t_1, obtemos
\theta_1=\tfrac{1}{2}\alpha t_1^2.
Explicação intuitiva: com velocidade inicial zero e aceleração constante, o ângulo cresce com a forma quadrática em t_1.

Passo 5

Calcular o deslocamento angular durante o período em que a velocidade é constante (duração t_2). Nesse trecho a velocidade angular vale \omega=\alpha t_1 (resultado do Passo 3), logo o deslocamento é
\theta_2=\omega t_2=(\alpha t_1) t_2=\alpha t_1 t_2.
Aqui usamos que deslocamento a velocidade constante é velocidade vezes tempo.

Passo 6

Somar os dois deslocamentos para obter o deslocamento angular total no intervalo 0 até t_1+t_2:
\theta_{\text{total}}=\theta_1+\theta_2=\tfrac{1}{2}\alpha t_1^2+\alpha t_1 t_2.
Fatorando \alpha t_1
\theta_{\text{total}}=\alpha t_1\!\left(\tfrac{t_1}{2}+t_2\right).

Passo 7

Converter o deslocamento total em número de voltas completas N dividindo por 2\pi:
N=\frac{\theta_{\text{total}}}{2\pi}=\frac{\alpha t_1}{2\pi}\!\left(\tfrac{t_1}{2}+t_2\right).
Essa expressão coincide exatamente com a alternativa (d).

Resposta

(d) \displaystyle \frac{\alpha t_{1}}{2 \pi}\left(\frac{t_{1}}{2}+t_{2}\right)

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