Uma centrífuga parte do repouso e acelera com aceleração angular constante
durante um intervalo de tempo
, até atingir uma velocidade angular
. A partir desse ponto, ela mantém essa velocidade angular constante por mais
segundos. Quantas voltas completas a centrífuga realiza no total, desde o inicio do movimento até o final do intervalo de tempo
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
-
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: quantas voltas completas a centrífuga realiza no total, desde o início (repouso) até o instante
.
Dados fornecidos (listei tudo claramente):
Dados fornecidos (listei tudo claramente):
- aceleração angular constante:
(durante o intervalo inicial de duração ); - a centrífuga parte do repouso, ou seja a velocidade angular inicial é
; - após o tempo
atinge uma velocidade angular e mantém essa velocidade constante por mais segundos; - precisamos o número de voltas completas (ou seja, o número de revoluções inteiras) em todo o intervalo total
.
Passo 2
Vamos usar as fórmulas básicas do movimento angular com aceleração constante. Vou explicar cada fórmula e o que cada símbolo significa.
A velocidade angular em função do tempo é dada por
A velocidade angular em função do tempo é dada por
onde
é a velocidade angular num dado instante (em rad/s),
é a velocidade angular inicial (em rad/s),
é a aceleração angular constante (em rad/s
) e
é o tempo desde o início (em s).
O deslocamento angular (ângulo girado) é dado por
O deslocamento angular (ângulo girado) é dado por
onde
é o deslocamento angular em radianos,
é o deslocamento inicial (aqui
), e os demais símbolos já foram definidos.
Observação prática: o deslocamento vem em radianos; para converter para número de voltas completas dividimos por
, pois uma volta completa corresponde a
rad.
Observação prática: o deslocamento
Passo 3
Calcular a velocidade angular
atingida ao final do intervalo de aceleração
. Como a centrífuga parte do repouso (
), aplicando
com
temos
Isso faz sentido: aceleração constante multiplica o tempo para dar a velocidade alcançada.
Passo 4
Calcular o deslocamento angular durante o período de aceleração (do tempo
até
). Usando
com
e
, e
, obtemos
Explicação intuitiva: com velocidade inicial zero e aceleração constante, o ângulo cresce com a forma quadrática em
.
Passo 5
Calcular o deslocamento angular durante o período em que a velocidade é constante (duração
). Nesse trecho a velocidade angular vale
(resultado do Passo 3), logo o deslocamento é
Aqui usamos que deslocamento a velocidade constante é velocidade vezes tempo.
Passo 6
Somar os dois deslocamentos para obter o deslocamento angular total no intervalo
até
:
Fatorando
dá
Passo 7
Converter o deslocamento total em número de voltas completas
dividindo por
:
Essa expressão coincide exatamente com a alternativa (d).
Resposta
(d)