Sobre a superficie de uma mesa há uma rampa de inclinação \theta, que está a uma altura H do solo. Sobre a rampa, há três corpos distintos: uma esfera maciça, um cilindro maciço e um anel, todos com o mesmo raio R e massa M. Os três partem do repouso, da mesma altura h em relação a superficie da mesa, rolando sem deslizar pela rampa. Os corpos deixam a extremidade da rampa cada um com uma certa velocidade horizontal, caindo sob a ação da gravidade a partir daí. Nesse cenário, qual dos três corpos alcançará a maior distância horizontal no chão, logo após abandonar a rampa? I_{\text {esfera }}=\frac{2}{5} M R^{2} ; I_{\text {cilindro }}=\frac{1}{2} M R^{2}; I_{\text {anel }}=M R^{2} \uparrow
(a) Todos atingem o chão à mesma distância horizontal, pois a altura H é a mesma. -
(b) A esfera maciça, pois possui o menor momento de inércia e, consequentemente, a maior velocidade de translação ao sair da rampa. -
(c) O cilindro maciço, pois todos chegam com a mesma velocidade linear e a diferença de momento de inércia não afeta o alcance.
(d) O anel, pois possui o maior momento de inércia e, portanto, maior velocidade de translação ao final da rampa.
(e) Nenhum dos corpos a-inge o chão, permanecendo em repouso no topo da rampa.

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos três corpos — esfera maciça, cilindro maciço e anel — alcança a maior distância horizontal no chão após deixar a rampa. Informações relevantes fornecidas são:
  • A rampa tem inclinação \theta e a extremidade da rampa está a uma altura H do solo.
  • Os três corpos têm mesma massa M e mesmo raio R.
  • Todos partem do repouso da mesma altura h (medida em relação à superfície da mesa) e rolam sem deslizar pela rampa.
  • Ao alcançar a extremidade da rampa, cada corpo deixa a rampa com certa velocidade horizontal e passa a cair como projétil a partir da altura H.
  • Momentos de inércia fornecidos: I_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{5} M R^{2},\qquad I_{\text{cilindro}}=\tfrac{1}{2} M R^{2},\qquad I_{\text{anel}}=M R^{2}.
A pergunta é: qual corpo chega mais longe horizontalmente no chão?

Passo 2

Primeiro vamos achar a velocidade horizontal v de cada corpo ao sair da rampa. Como os corpos rolam sem deslizar, podemos usar a conservação da energia mecânica entre o início (altura h) e a saída da rampa (base da descida): a energia potencial inicial transforma-se em energia cinética de translação e rotação. A equação de conservação de energia é
M g h = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Aqui:
  • M g h é a energia potencial gravitacional inicial;
  • \tfrac{1}{2}M v^{2} é a energia cinética de translação (com v velocidade do centro de massa);
  • \tfrac{1}{2}I\omega^{2} é a energia cinética de rotação (com \omega velocidade angular).
A condição de rolamento sem deslizamento dá a relação entre velocidade de translação e velocidade angular:
v = \omega R \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{R}.
Substituindo \omega na equação de energia:
M g h = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2} = \frac{1}{2} v^{2}\!\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right).
Isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{2 M g h}{\,M + \dfrac{I}{R^{2}}\,}.
Essa fórmula mostra como o momento de inércia I influencia a velocidade de translação final: quanto maior I (relativamente a M R^{2}), menor será v.

Passo 3

Agora aplicamos essa expressão para cada corpo, substituindo os I dados.
Esfera: I_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{5}M R^{2}. Então
M+\frac{I}{R^{2}}=M+\frac{2}{5}M=\frac{7}{5}M.
Portanto
v_{\text{esfera}}^{2}=\frac{2 M g h}{\tfrac{7}{5}M}=\frac{10}{7}\,g h,
isto é
v_{\text{esfera}}=\sqrt{\frac{10}{7}\,g h}.

Passo 4

Cilindro: I_{\text{cilindro}}=\tfrac{1}{2}M R^{2}. Então
M+\frac{I}{R^{2}}=M+\frac{1}{2}M=\frac{3}{2}M.
Logo
v_{\text{cilindro}}^{2}=\frac{2 M g h}{\tfrac{3}{2}M}=\frac{4}{3}\,g h,
ou
v_{\text{cilindro}}=\sqrt{\frac{4}{3}\,g h}.

Passo 5

Anel: I_{\text{anel}}=M R^{2}. Então
M+\frac{I}{R^{2}}=M+M=2M.
Logo
v_{\text{anel}}^{2}=\frac{2 M g h}{2M}=g h,
ou
v_{\text{anel}}=\sqrt{g h}.

Passo 6

Comparando as velocidades (podemos comparar os quadrados ou os fatores multiplicativos de g h):
v_{\text{esfera}}=\sqrt{\tfrac{10}{7}\,g h}\approx\sqrt{1{,}4286\,g h}\approx1{,}195\sqrt{g h},
v_{\text{cilindro}}=\sqrt{\tfrac{4}{3}\,g h}\approx\sqrt{1{,}3333\,g h}\approx1{,}155\sqrt{g h},
v_{\text{anel}}=\sqrt{g h}=1{,}000\sqrt{g h}.
Portanto, a ordem das velocidades ao sair da rampa é:
v_{\text{esfera}}>v_{\text{cilindro}}>v_{\text{anel}}.

Passo 7

Agora determinamos a distância horizontal alcançada quando cada corpo cai do ponto de saída até o chão. O movimento após a saída é um lançamento horizontal a partir de altura H. O tempo de queda t é determinado apenas por H e g, porque a componente vertical inicial é zero:
H=\frac{1}{2} g t^{2}\quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2H}{g}}.
A distância horizontal percorrida é
x = v \, t.
Como o tempo t é o mesmo para todos (mesma H), o alcance horizontal é diretamente proporcional à velocidade horizontal v ao sair da rampa. Portanto a ordem dos alcances é a mesma das velocidades:
x_{\text{esfera}}>x_{\text{cilindro}}>x_{\text{anel}}.

Passo 8

Conclusão: a esfera maciça, que tem o menor momento de inércia relativo ( \tfrac{2}{5}MR^{2}), converte mais energia potencial em energia de translação e sai com a maior velocidade horizontal, alcançando assim a maior distância horizontal no chão. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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