Sobre a superficie de uma mesa há uma rampa de inclinação
, que está a uma altura
do solo. Sobre a rampa, há três corpos distintos: uma esfera maciça, um cilindro maciço e um anel, todos com o mesmo raio
e massa
. Os três partem do repouso, da mesma altura
em relação a superficie da mesa, rolando sem deslizar pela rampa. Os corpos deixam a extremidade da rampa cada um com uma certa velocidade horizontal, caindo sob a ação da gravidade a partir daí. Nesse cenário, qual dos três corpos alcançará a maior distância horizontal no chão, logo após abandonar a rampa?
;
(a) Todos atingem o chão à mesma distância horizontal, pois a altura
é a mesma. -
(b) A esfera maciça, pois possui o menor momento de inércia e, consequentemente, a maior velocidade de translação ao sair da rampa. -
(c) O cilindro maciço, pois todos chegam com a mesma velocidade linear e a diferença de momento de inércia não afeta o alcance.
(d) O anel, pois possui o maior momento de inércia e, portanto, maior velocidade de translação ao final da rampa.
(e) Nenhum dos corpos a-inge o chão, permanecendo em repouso no topo da rampa.
(a) Todos atingem o chão à mesma distância horizontal, pois a altura
(b) A esfera maciça, pois possui o menor momento de inércia e, consequentemente, a maior velocidade de translação ao sair da rampa. -
(c) O cilindro maciço, pois todos chegam com a mesma velocidade linear e a diferença de momento de inércia não afeta o alcance.
(d) O anel, pois possui o maior momento de inércia e, portanto, maior velocidade de translação ao final da rampa.
(e) Nenhum dos corpos a-inge o chão, permanecendo em repouso no topo da rampa.
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos três corpos — esfera maciça, cilindro maciço e anel — alcança a maior distância horizontal no chão após deixar a rampa. Informações relevantes fornecidas são:
- A rampa tem inclinação
e a extremidade da rampa está a uma altura do solo. - Os três corpos têm mesma massa
e mesmo raio . - Todos partem do repouso da mesma altura
(medida em relação à superfície da mesa) e rolam sem deslizar pela rampa. - Ao alcançar a extremidade da rampa, cada corpo deixa a rampa com certa velocidade horizontal e passa a cair como projétil a partir da altura
. - Momentos de inércia fornecidos:
A pergunta é: qual corpo chega mais longe horizontalmente no chão?
Passo 2
Primeiro vamos achar a velocidade horizontal
de cada corpo ao sair da rampa. Como os corpos rolam sem deslizar, podemos usar a conservação da energia mecânica entre o início (altura
) e a saída da rampa (base da descida): a energia potencial inicial transforma-se em energia cinética de translação e rotação. A equação de conservação de energia é
Aqui:
-
é a energia potencial gravitacional inicial; -
é a energia cinética de translação (com velocidade do centro de massa); -
é a energia cinética de rotação (com velocidade angular).
A condição de rolamento sem deslizamento dá a relação entre velocidade de translação e velocidade angular:
Substituindo
na equação de energia:
Isolando
:
Essa fórmula mostra como o momento de inércia
influencia a velocidade de translação final: quanto maior
(relativamente a
), menor será
.
Passo 3
Agora aplicamos essa expressão para cada corpo, substituindo os
dados.
Esfera:
. Então
Portanto
isto é
Passo 4
Cilindro:
. Então
Logo
ou
Passo 5
Anel:
. Então
Logo
ou
Passo 6
Comparando as velocidades (podemos comparar os quadrados ou os fatores multiplicativos de
):
Portanto, a ordem das velocidades ao sair da rampa é:
Passo 7
Agora determinamos a distância horizontal alcançada quando cada corpo cai do ponto de saída até o chão. O movimento após a saída é um lançamento horizontal a partir de altura
. O tempo de queda
é determinado apenas por
e
, porque a componente vertical inicial é zero:
A distância horizontal percorrida é
Como o tempo
é o mesmo para todos (mesma
), o alcance horizontal é diretamente proporcional à velocidade horizontal
ao sair da rampa. Portanto a ordem dos alcances é a mesma das velocidades:
Passo 8
Conclusão: a esfera maciça, que tem o menor momento de inércia relativo (
), converte mais energia potencial em energia de translação e sai com a maior velocidade horizontal, alcançando assim a maior distância horizontal no chão. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)