Q3 (1 , 0)) Um perito encarregado da análise do sinistro argumentou: “Eu tenho o valor da distância horizontal R do ponto onde ocorreu a colisão até o ponto onde o motoqueiro caiu no asfalto. Vou supor que ele foi lançado da mesma altura H do automóvel. Usando g=10 m / s^{2}, posso estimar sua velocidade horizontal v_{3} imediatamente após a colisão”. Suponha que o perito fez o cálculo corretamente. Com H e R em metros, a expressão correta para v_{3}, em m / s, obtida pelo perito é dada por
(a) v_{3}=\sqrt{20 H}
(b) v_{3}=\sqrt{20 R}
(c) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{R^{2}}{H}}
(d) v_{3}=\sqrt{10 \frac{R^{2}}{H}}
(e) v_{3}=\sqrt{20 \frac{R^{2}}{H}}
(f) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{H^{2}}{R}}
(g) v_{3}=\sqrt{10 \frac{H^{2}}{R}}
(h) v_{3}=\sqrt{20 \frac{H^{2}}{R}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar uma a uma para a gente não se perder):
  • A distância horizontal entre o ponto da colisão e o ponto onde o motoqueiro caiu é \;R\; (em metros).
  • A altura de onde o motoqueiro foi lançado é \;H\; (em metros). O perito supõe que essa altura é a mesma do automóvel.
  • A aceleração da gravidade é \;g=10\\ \mathrm{m/s^2}\;.
  • O perito calculou corretamente a velocidade horizontal imediata após a colisão, chamada de \;v_3\;, e a expressão pedida é essa velocidade em \mathrm{m/s} em função de \;H\; e \;R\;.
O que a questão pede:
  • Encontrar a expressão correta para \;v_3\; em termos de \;H\; e \;R\;, e comparar com as alternativas dadas.

Passo 2

Entendendo o movimento vertical (queda livre) — fórmula básica e significado das variáveis:
Quando o motoqueiro cai do ponto de altura \;H\; sem velocidade vertical inicial (apenas lançando-se horizontalmente), o movimento vertical é uma queda livre com aceleração constante \;g\;. A equação que relaciona a altura \;H\;, a aceleração \;g\; e o tempo de queda \;t\; é
H = \frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Aqui:
  • \;H\; é a distância vertical percorrida (em \mathrm{m}),
  • \;g\; é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}),
  • \;t\; é o tempo que leva a queda (em \mathrm{s}).
Essa fórmula vem de integrar a aceleração constante: velocidade vertical v_y = g t e posição y = \frac{1}{2} g t^2 se a velocidade inicial vertical for zero.

Passo 3

Isolando o tempo \;t\; da fórmula da queda:
Da equação \;H = \frac{1}{2} g t^{2}\;, resolvemos para \;t\;:
t^{2} = \frac{2H}{g}
t = \sqrt{\frac{2H}{g}}.
Escolhemos a raiz positiva porque o tempo é positivo.

Passo 4

Entendendo o movimento horizontal — relação entre \;v_3\;, \;R\; e \;t\;:
No eixo horizontal, sem aceleração significativa (apenas velocidade horizontal constante imediatamente após a colisão), a distância horizontal \;R\; é dada por
R = v_3 \, t.
Aqui:
  • \;R\; é o alcance horizontal (em \mathrm{m}),
  • \;v_3\; é a componente horizontal da velocidade logo após a colisão (em \mathrm{m/s}),
  • \;t\; é o tempo de queda (em \mathrm{s}) que já encontramos.
Isolando \;v_3\;:
v_3 = \frac{R}{t}.

Passo 5

Substituindo o tempo \;t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\; na expressão de \;v_3\; e fazendo a álgebra passo a passo:
v_3 = \frac{R}{\sqrt{\dfrac{2H}{g}}}.
Multiplicando numerador e denominador para simplificar a raiz:
v_3 = R \cdot \sqrt{\frac{g}{2H}}.
Colocando tudo sob uma única raiz:
v_3 = \sqrt{R^{2} \cdot \frac{g}{2H}} = \sqrt{\frac{g}{2}\cdot\frac{R^{2}}{H}}.
Isso já é a expressão geral com \;g\; presente. Vamos agora usar o valor numérico dado para \;g\;.

Passo 6

Substituindo \;g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\; e simplificando:
\frac{g}{2}=\frac{10}{2}=5.
Logo
v_3 = \sqrt{5\cdot\frac{R^{2}}{H}}.
Em notação igual à das alternativas (usando a formatação decimal com vírgula como nas opções),
v_3 = \sqrt{5,0\;\frac{R^{2}}{H}}.
Podemos checar rapidamente as unidades: dentro da raiz temos \mathrm{m^2} dividido por \mathrm{m} multiplicado por número adimensional, resultando em \mathrm{m}, e a raiz dá \mathrm{m/s} correto (na verdade o fator numérico traz a unidade de \mathrm{s^{-2}} já considerada; a verificação mostra consistência dimensional).

Passo 7

Confrontando a expressão obtida \;v_3=\sqrt{5,0\;\dfrac{R^{2}}{H}}\; com as alternativas fornecidas, vemos que ela coincide exatamente com a alternativa (c).

Resposta

(c) v_3=\sqrt{5,0\frac{R^{2}}{H}}

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