Q3 (1 , 0)) Um perito encarregado da análise do sinistro argumentou: “Eu tenho o valor da distância horizontal R do ponto onde ocorreu a colisão até o ponto onde o motoqueiro caiu no asfalto. Vou supor que ele foi lançado da mesma altura H do automóvel. Usando g=10 m / s^{2}, posso estimar sua velocidade horizontal v_{3} imediatamente após a colisão”. Suponha que o perito fez o cálculo corretamente. Com H e R em metros, a expressão correta para v_{3}, em m / s, obtida pelo perito é dada por
(a) v_{3}=\sqrt{20 H}
(b) v_{3}=\sqrt{20 R}
(c) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{R^{2}}{H}}
(d) v_{3}=\sqrt{10 \frac{R^{2}}{H}}
(e) v_{3}=\sqrt{20 \frac{R^{2}}{H}}
(f) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{H^{2}}{R}}
(g) v_{3}=\sqrt{10 \frac{H^{2}}{R}}
(h) v_{3}=\sqrt{20 \frac{H^{2}}{R}}
(a) v_{3}=\sqrt{20 H}
(b) v_{3}=\sqrt{20 R}
(c) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{R^{2}}{H}}
(d) v_{3}=\sqrt{10 \frac{R^{2}}{H}}
(e) v_{3}=\sqrt{20 \frac{R^{2}}{H}}
(f) v_{3}=\sqrt{5,0 \frac{H^{2}}{R}}
(g) v_{3}=\sqrt{10 \frac{H^{2}}{R}}
(h) v_{3}=\sqrt{20 \frac{H^{2}}{R}}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar uma a uma para a gente não se perder):
- A distância horizontal entre o ponto da colisão e o ponto onde o motoqueiro caiu é
(em metros). - A altura de onde o motoqueiro foi lançado é
(em metros). O perito supõe que essa altura é a mesma do automóvel. - A aceleração da gravidade é
. - O perito calculou corretamente a velocidade horizontal imediata após a colisão, chamada de
, e a expressão pedida é essa velocidade em em função de e .
O que a questão pede:
- Encontrar a expressão correta para
em termos de e , e comparar com as alternativas dadas.
Passo 2
Entendendo o movimento vertical (queda livre) — fórmula básica e significado das variáveis:
Quando o motoqueiro cai do ponto de altura
sem velocidade vertical inicial (apenas lançando-se horizontalmente), o movimento vertical é uma queda livre com aceleração constante
. A equação que relaciona a altura
, a aceleração
e o tempo de queda
é
Aqui:
-
é a distância vertical percorrida (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ), -
é o tempo que leva a queda (em ).
Essa fórmula vem de integrar a aceleração constante: velocidade vertical
e posição
se a velocidade inicial vertical for zero.
Passo 3
Isolando o tempo
da fórmula da queda:
Da equação
, resolvemos para
:
Escolhemos a raiz positiva porque o tempo é positivo.
Passo 4
Entendendo o movimento horizontal — relação entre
,
e
:
No eixo horizontal, sem aceleração significativa (apenas velocidade horizontal constante imediatamente após a colisão), a distância horizontal
é dada por
Aqui:
-
é o alcance horizontal (em ), -
é a componente horizontal da velocidade logo após a colisão (em ), -
é o tempo de queda (em ) que já encontramos.
Isolando
:
Passo 5
Substituindo o tempo
na expressão de
e fazendo a álgebra passo a passo:
Multiplicando numerador e denominador para simplificar a raiz:
Colocando tudo sob uma única raiz:
Isso já é a expressão geral com
presente. Vamos agora usar o valor numérico dado para
.
Passo 6
Substituindo
e simplificando:
Logo
Em notação igual à das alternativas (usando a formatação decimal com vírgula como nas opções),
Podemos checar rapidamente as unidades: dentro da raiz temos
dividido por
multiplicado por número adimensional, resultando em
, e a raiz dá
correto (na verdade o fator numérico traz a unidade de
já considerada; a verificação mostra consistência dimensional).
Passo 7
Confrontando a expressão obtida
com as alternativas fornecidas, vemos que ela coincide exatamente com a alternativa (c).
Resposta
(c)