Um centrifugador-decantador é usado para enxugar o produto liquido que vem de um classificador num circuito fechado de moagem fina da preparação de calcário argiloso destinado a um forno de fabricação de cimento. O centrifugador deve remover particulas de diámetro maior que 10 mícrons. O diâmetro máximo do centrifugador é 40 in , o comprimento 60 in e o ângulo das paredes cónicas é de 10^circ. A profundidade máxima do liquido é 8 in . A rotaçāo pode chegar à velocidade máxima de 1.200 rpm . Determinar a velocidade de rotação a ser empregada para que o centrifugador possa ser alimentado a 300 gal / min.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem um centrifugador‐decantador que recebe um líquido com partículas e precisa separar tudo que tiver diâmetro >10 μm. O equipamento é basicamente um tubo giratório (Ø máximo 40 in, comprimento 60 in), a parede cônica faz 10° e o nível de líquido chega a 8 in de profundidade. A rotação pode ir até 1200 rpm, mas queremos achar qual rotação (em rpm) basta para processar 300 gal/min, garantindo que partículas ≥10 μm se depositem antes de sair.
Conteúdo: dinâmica de fluidos em centrífuga, velocidade de assentamento radial (tipo Lei de Stokes, mas com aceleração centrífuga), tempo de residência.
O que vamos precisar:
  • Converter unidades (polegadas, gal/min → m, m³/s).
  • Calcular tempo de residência axial.
  • Equacionar o deslocamento radial por velocidade de assentamento sob aceleração centrífuga.
  • Despejar tudo pra achar ω (rad/s) e converter em rpm.

Passo 2

Calcular dados geométricos e converter vazão:
  1. Raio externo R₂ = 40 in / 2 = 20 in.
  2. Profundidade do líquido h = 8 in → raio interno R₁ = R₂ − h = 20 in − 8 in = 12 in.
  3. Área da seção transversal para fluxo axial:
    A = π (R₂² − R₁²) = π (20² − 12²) in² = π (400 −144) = 256 π in².
  4. Comprimento do tubo L = 60 in.
Vazão Q = 300 gal/min. Como 1 gal = 231 in³,
Q = 300 × 231 = 69 300 in³/min.
Em segundos: Q = 69 300 in³/min ÷ 60 ≈ 1 155 in³/s.

Passo 3

Tempo de residência axial t_res:
t_res = Volume / Vazão = (A × L) / Q
= (256 π in² × 60 in) / (1 155 in³/s)
= (15 360 π) / 1 155 ≈ 41,8 s.
Esse é o tempo que um “pingo” de líquido demora para percorrer 60 in no tubo.

Passo 4

Para a partícula de diâmetro d = 10 μm se depositar, ela precisa viajar radialmente a distância Δr = R₂ − R₁ = 8 in em t_res.
Velocidade radial média u_r = Δr / t_res = 8 in / 41,8 s ≈ 0,1916 in/s.
Em SI: 1 in = 0,0254 m →
u_r ≈ 0,1916 × 0,0254 ≈ 0,00487 m/s.

Passo 5

Teoria da velocidade de assentamento radial numa centrífuga:
Em vez da gravidade g, a “gravidade efetiva” é ω²r. Pela lei de Stokes (regime laminar) a força de arrasto equilibra a força centrífuga, levando a
u_r = (d² Δρ ω² r_m) / (18 μ)
onde
  • d = 10 × 10⁻⁶ m,
  • Δρ = densidade_sólido − densidade_líquido ≈ (2 650 − 1 000) = 1 650 kg/m³,
  • μ ≈ 1 × 10⁻³ Pa·s,
  • r_m = raio médio ≈ (R₁ + R₂)/2 = (12 in + 20 in)/2 = 16 in = 0,4064 m.

Passo 6

Isolando ω²:
ω² = (18 μ u_r) / (d² Δρ r_m).
Substituindo:
Numerador = 18 × 1·10⁻³ × 0,00487 ≈ 8,76·10⁻⁵,
Denominador = (10·10⁻⁶)² × 1 650 × 0,4064 ≈ 6,71·10⁻⁸.
ω² ≈ 8,76·10⁻⁵ / 6,71·10⁻⁸ ≈ 1,306·10³ (rad/s)²
ω ≈ √(1,306·10³) ≈ 36,16 rad/s.
Convertendo para rpm:
N = ω × (60 / 2π) ≈ 36,16 × 9,5493 ≈ 345 rpm.

Resposta

A rotação necessária para processar 300 gal/min e garantir o corte em 10 μm é de aproximadamente 345 rpm.

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