O centro C e o nome da quádrica cuja equação é 4 x^{2}-y^{2}+4 z^{2}-8 x+4 y+8 z+4=0 são:
(A) C=(1,2,-1), Hiperboloide de uma folha
(B) C=(-1,2,1), Hiperboloide de duas folhas
(C) C=(1,-2,1), Cone Elíptico
(D) C=(1,2,-1), Hiperboloide de duas folhas
(E) C=(2,1,-1), Elipsoide
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
4x^{2} - y^{2} + 4z^{2} - 8x + 4y + 8z + 4 = 0
e pede o centro C e o tipo de quádruca. Para isso, vamos completar quadrados em x, y e z e reescrever em forma canônica.

Passo 2

Agrupamos e completamos quadrados em cada variável:
Para x:
4x^{2}-8x = 4\bigl(x^{2}-2x\bigr) =4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) =4(x-1)^{2}-4.
Para y:
-y^{2}+4y = -\bigl(y^{2}-4y\bigr) =-\bigl((y-2)^{2}-4\bigr) =-(y-2)^{2}+4.
Para z:
4z^{2}+8z = 4\bigl(z^{2}+2z\bigr) =4\bigl((z+1)^{2}-1\bigr) =4(z+1)^{2}-4.

Passo 3

Substituindo na equação original:
\bigl[4(x-1)^{2}-4\bigr]+\bigl[-(y-2)^{2}+4\bigr]+\bigl[4(z+1)^{2}-4\bigr]+4=0.
Somando as constantes -4+4-4+4=0, sobra
4(x-1)^{2} - (y-2)^{2} + 4(z+1)^{2} = 0.

Passo 4

Da forma canônica, vemos que o ápice (centro) da superfície é
C = (1,\,2,\,-1).

Passo 5

A equação
4(x-1)^{2}+4(z+1)^{2}-(y-2)^{2}=0
é típica de um cone elíptico, pois é a diferença de quadrados igual a zero, sem termo constante no lado direito.

Passo 6

Nenhuma das opções dadas (A) a (E) associa simultaneamente C=(1,2,-1) ao cone elíptico.

Resposta

(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

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