A reta r: X=(3,-2,-1)+t(2,1,-1), t \in \mathbb{R} intercepta a esfera S:(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=9 em quais pontos?
(A) A reta é tangente à esfera.
(B) A reta não intercepta a esfera.
(C) Nos pontos (3,-2,-1) e (1,-3,0)
(D) Nos pontos (5,-1,-2) e (1,-3,0)
(E) Nos pontos (3,-2,-1) e (5,-1,-2)
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r: (x,y,z) = (3,-2,-1) + t\,(2,1,-1)
e a esfera
S: (x-1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.
Queremos os pontos em que r intercepta S. O conteúdo é geometria analítica: substituímos a forma paramétrica de r na equação de S e resolvemos em t.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de r:
x = 3 + 2t,\quad y = -2 + t,\quad z = -1 - t.
Substituímos na equação de S:
(3+2t-1)^2 + (-2+t)^2 + (-1-t)^2 = 9.

Passo 3

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
(2+2t)^2 + (t-2)^2 + (-1-t)^2 = 9,
4(t+1)^2 + (t^2 -4t +4) + (t+1)^2 = 9,
4(t^2+2t+1) + t^2 -4t +4 + t^2 +2t +1 = 9,
6t^2 + 6t + 9 = 9.

Passo 4

Subtraindo 9 de ambos os lados, obtemos
6t^2 + 6t = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6t(t+1)=0,
Logo, t=0 ou t=-1.

Passo 5

Para t=0, o ponto é
(3+2\cdot0,\,-2+0,\,-1-0) = (3,-2,-1).
Para t=-1, o ponto é
(3+2(-1),\,-2-1,\,-1+1) = (1,-3,0).

Passo 6

A reta intercepta a esfera nos pontos (3,-2,-1) e (1,-3,0), que correspondem à alternativa (C).

Resposta

(C)

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