A reta r que passa pelos pontos A(0,2,0) e B(0,0,4) gira em torno do eixo z. A equação da superfície de revolução gerada é:
(A) x^{2}+y^{2}=(z-4)^{2}
(B) 4\left(x^{2}+y^{2}\right)=(z-4)^{2}
(C) x^{2}+y^{2}=4(z-2)^{2}
(D) x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=4
(E) x^{2}+y^{2}=(z / 2+2)^{2}
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado diz que temos a reta r que passa pelos pontos A(0,2,0) e B(0,0,4) e que ela gira em torno do eixo z. O conteúdo é superfície de revolução e vamos precisar:
– Escrever uma parametrização ou relação entre y e z na reta (no plano x=0).
– Usar que, ao girar em torno de z, cada ponto de coordenadas (0,y,z) gera um círculo de raio \bigl|y\bigr|, isto é, \sqrt{x^2+y^2}=\bigl|y\bigr|.

Passo 2

Parametrizamos a reta por
x=0,\quad y=2-2t,\quad z=4t.
Da segunda e terceira equações segue
t=\frac{z}{4} \quad\Longrightarrow\quad y=2-\frac{z}{2}.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo z, o ponto (0,y,z) gera pontos com \sqrt{x^2+y^2}=\bigl|y\bigr|. Substituindo y=2-\tfrac z2, obtemos
\sqrt{x^2+y^2}=\Bigl|2-\frac{z}{2}\Bigr|.

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando,
x^2+y^2=\Bigl(2-\frac{z}{2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4\,(x^2+y^2)=(4 - z)^2
ou seja
4\bigl(x^2+y^2\bigr)=(z-4)^2.

Resposta

(B) 4\bigl(x^2+y^2\bigr)=(z-4)^2

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