O centro de carga de uma nuvem carregada, que paira a 1,0 km acima da superficie terrestre, contém 20 C de carga negativa. Supondo que o centro de carga possua raio de 3,0 km, e modelando o centro de carga e a superficie terrestre como placas paralelas infinitas, calcule:
a) a capacitância do sistema;
b) a diferença de potencial entre o centro de carga e o solo;
c) a força elétrica entre a nuvem e o solo
d) a energia elétrica armazenada no sistema.
l integral dxraiza^2-x^2=arcsen(xa) integral dxraiza^2+x^2=ln (x+raizx^2+a^2) integral dxa^2+x^2=1a arctg(xa) integral dx(a^2+x^2)^32=1a^2 xraizx^2+a^2
l integral x dx(a^2+x^2)^32=-1raizx^2+a^2 integral dxa+bx=ln (a+bx)b 14 pi epsilon0=9,0 times 10^9 N cdot m^2 / C^2 epsilon0=8,854 times 10^-12 C^2 / N cdot m^2 e=1,6 times 10^-19 C

Passo 1

O enunciado descreve uma nuvem carregada com carga ,Q=20 C a uma altura d=1,0 km acima do solo, modelando-a e o solo como placas paralelas infinitas de raio r=3,0 km. Vamos calcular:
  • a capacitância ,C usando ,C=epsilon0,A/d;
  • a diferença de potencial ,V=Q/C;
  • a força elétrica ,F atraindo as placas, usando ,F=Q^2/(2epsilon0A);
  • a energia armazenada ,U=Q^2/(2C).

Passo 2

Primeiro determinamos a área de cada “placa” circular:
A = pi,r^2
r = 3,0 km = 3,0times10^3 m
A = pi,(3,0times10^3,m)^2 = pi times 9,0times10^6,m^2 = 9,0pitimes10^6,m^2
Agora a capacitância de placas paralelas é
C = epsilon0,Ad,
onde
epsilon0=8,854times10^-12 C^2/(Ncdot m^2)
e
d = 1,0 km = 1,0times10^3 m
Substituindo,
C = 8,854times10^-12times 9,0pitimes10^61,0times10^3 approx 2,5times10^-7 F

Passo 3

A diferença de potencial entre as placas é
V = QC = 20 C2,5times10^-7 F approx 8,0times10^7 V

Passo 4

A força de atração eletrostática entre placas paralelas carregadas é
F = Q^22,epsilon0,A
Substituindo Q=20 C e A=9,0pitimes10^6 m^2,
F = (20)^22times8,854times10^-12times9,0pitimes10^6 approx 8,0times10^5 N

Passo 5

A energia armazenada num capacitor é
U = Q^22,C = (20)^22times2,5times10^-7 approx 8,0times10^8 J

Resposta

(a) C approx 2,5times10^-7 F
(b) V approx 8,0times10^7 V
(c) F approx 8,0times10^5 N
(d) U approx 8,0times10^8 J

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