(F) O centro de carga de uma nuvem pode ser modelado como uma placa na forma de disco de raio 1 km , contendo uma carga líquida de -20 C . A nuvem está a uma altura de 3 km acima da superfície da Terra. Modelando o centro de carga da nuvem e a superfície da Terra como um capacitor de placas planas e paralelas e supondo que o campo elétrico é uniforme nessa região, determine:
(a) A capacitância do sistema
(b) A diferença de potencial entre a nuvem e o solo.
(c) A intensidade do campo elétrico entre a nuvem e o solo. Compare com a rigidez dielétrica do ar ( 3 times 10^6 V / m ).
(d) A energia potencial elétrica armazenada no sistema.
OBS: Note que este modelo não é muito bom, uma vez que a altura do centro de carga da nuvem é maior que suas dimensões típicas.

Passo 1

O enunciado descreve uma nuvem modelada como uma placa circular de raio R=1,0:km (ou 1000:m), com carga líquida Q=-20:C, situada a uma distância d=3,0:km (ou 3000:m) do solo. Estamos tratando isso como um capacitor de placas paralelas com campo uniforme. Vamos usar as fórmulas de capacitor plano:
– Área da placa: A=pi R^2.
– Capacitância: C=varepsilon0,Ad.
– Diferença de potencial: V=QC.
– Campo elétrico uniforme: E=Vd=sigmavarepsilon0, com sigma=Q/A.
– Energia armazenada: U=12C,V^2=Q^22C.
Como valor de referência, usemos varepsilon0=8,854times10^-12:F/m.

Passo 2

Calcular a capacitância. Primeiro a área da placa:
A = pi R^2 = pi,(1000:m)^2 = pitimes10^6:m^2 approx 3,14times10^6:m^2
Em seguida,
C = varepsilon0,Ad = (8,854times10^-12),3,14times10^63000 approx 9,27times10^-9:F

Passo 3

Determinar a diferença de potencial entre nuvem e solo usando V = Q / C. Como nos interessa o módulo:
V = |Q|C = 209,27times10^-9 approx 2,16times10^9:V

Passo 4

Calcular a intensidade do campo elétrico uniforme. Podemos usar E=V/d ou E=sigma/varepsilon0. Usando V/d:
E = 2,16times10^93000 approx 7,2times10^5:V/m
Comparando com a rigidez dielétrica do ar, Eruptura=3,0times10^6:V/m, vemos que
7,2times10^5 < 3,0times10^6,
ou seja, o campo está abaixo do valor de ruptura do ar.

Passo 5

Calcular a energia elétrica armazenada no capacitor. Use U=Q^2/(2C):
U = (20)^22,(9,27times10^-9) approx 2,16times10^10:J

Resposta

(a) Capprox 9,3times10^-9:F
(b) Vapprox 2,2times10^9:V
(c) Eapprox 7,2times10^5:V/m, abaixo de 3,0times10^6:V/m.
(d) Uapprox 2,2times10^10:J

Exercícios relacionados