(M) Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio b(b>a). O fio possui uma densidade linear de carga constante +lambda, enquanto a casca possui uma densidade -lambda.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em todo o espaço.
(b) Determine a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca.
(c) Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor coaxial constituído por um condutor cilíndrico maciço de raio a com carga linear +lambda e uma casca cilíndrica fina de raio b com carga linear -lambda. O que precisamos é:
  1. Usar a lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r) em todas as regiões.
  2. Integrar E para obter a diferença de potencial entre a superfície do condutor interno e a casca externa.
  3. Usar a definição de capacitância por comprimento para encontrar C'.

Passo 2

Aplicamos a lei de Gauss a uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L.
  • Para r<a: não há carga interna, logo
E(r)=0
  • Para a<r<b: a carga interna é lambda L, então
oint EcdotdA =E(r),(2pi r L) =lambda Lepsilon0 Rightarrow E(r) =lambda2pi epsilon0,r na direção radial para fora çã
  • Para r>b: a carga total envolvida é lambda L+(-lambda L)=0, logo
E(r)=0

Passo 3

A diferença de potencial entre o condutor interno ( r=a) e a casca externa ( r=b) é
V(a)-V(b) =-integralb^aE(r),dr =-integralb^alambda2piepsilon0,r,dr =lambda2piepsilon0lnba

Passo 4

A capacitância por unidade de comprimento C' é definida por
C'=lambdaV(a)-V(b)
Substituindo o valor de V(a)-V(b), temos
C' =lambdalambda2piepsilon0lnba =2piepsilon0lnba

Resposta

(a)
E(r)= 0, & r<a, dfraclambda2piepsilon0,r,r, & a<r<b, 0, & r>b
(b)
V(a)-V(b) =lambda2piepsilon0lnba
(c)
C'=2piepsilon0ln!l(b/ar)

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