Fazendo a multiplicação e agrupando termos em \cos^2\theta, \sin^2\theta e \sin\theta\cos\theta, nota-se que todos os termos cruzados se cancelam e sobra
N = r^{2} + 2\,r'^{2} - r\,r''.
Portanto a curvatura é
K =\frac{|N|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}} =\frac{\bigl|r^{2}+2r'^{2}-r\,r''\bigr|} {\bigl[r^{2}+r'^{2}\bigr]^{3/2}}.
Resposta
K =\frac{\bigl|r^{2}+2\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2} -r\,\tfrac{d^{2}r}{d\theta^{2}}\bigr|} {\bigl[r^{2}+\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2}\bigr]^{3/2}}.