Se uma equação polar de uma curva for r=F(\theta), prove que a curvatura K será dada pela fórmula
K=\frac{\left|r^{2}+2\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}-r\left(\frac{d^{2} r}{d \theta^{2}}\right)\right|}{\left[r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}\right]^{3 / 2}}

Passo 1

Estamos com a curva dada em coordenadas polares por
r = F(\theta).
Queremos calcular a curvatura K dessa curva. Para isso, vamos usar a parametrização em coordenadas cartesianas
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta, \quad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta
e depois aplicar a fórmula de curvatura para uma curva paramétrica
K=\frac{\bigl|x'(\theta)\,y''(\theta)-y'(\theta)\,x''(\theta)\bigr|} {\bigl[x'(\theta)^2+y'(\theta)^2\bigr]^{3/2}}.

Passo 2

Definindo
r'=\frac{dr}{d\theta}, \quad r''=\frac{d^2r}{d\theta^2},
temos as derivadas de primeira ordem:
x'(\theta) =\frac{d}{d\theta}\bigl(r\cos\theta\bigr) =r'\cos\theta - r\sin\theta,
y'(\theta) =\frac{d}{d\theta}\bigl(r\sin\theta\bigr) =r'\sin\theta + r\cos\theta.
O quadrado da velocidade é então
x'{}^2+y'{}^2 =(r'\cos\theta - r\sin\theta)^2+(r'\sin\theta + r\cos\theta)^2 =r^2 + r'^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de segunda ordem:
x''(\theta) =\frac{d}{d\theta}(r'\cos\theta - r\sin\theta) =r''\cos\theta -2r'\sin\theta - r\cos\theta,
y''(\theta) =\frac{d}{d\theta}(r'\sin\theta + r\cos\theta) =r''\sin\theta +2r'\cos\theta - r\sin\theta.

Passo 4

Aplicamos o numerador da fórmula de curvatura:
N =x'\,y''-y'\,x''
\;=\bigl(r'\cos\theta - r\sin\theta\bigr)\bigl(r''\sin\theta +2r'\cos\theta - r\sin\theta\bigr) -\bigl(r'\sin\theta + r\cos\theta\bigr)\bigl(r''\cos\theta -2r'\sin\theta - r\cos\theta\bigr).

Passo 5

Fazendo a multiplicação e agrupando termos em \cos^2\theta, \sin^2\theta e \sin\theta\cos\theta, nota-se que todos os termos cruzados se cancelam e sobra
N = r^{2} + 2\,r'^{2} - r\,r''.
Portanto a curvatura é
K =\frac{|N|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}} =\frac{\bigl|r^{2}+2r'^{2}-r\,r''\bigr|} {\bigl[r^{2}+r'^{2}\bigr]^{3/2}}.

Resposta

K =\frac{\bigl|r^{2}+2\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2} -r\,\tfrac{d^{2}r}{d\theta^{2}}\bigr|} {\bigl[r^{2}+\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2}\bigr]^{3/2}}.

Exercícios relacionados