Uma partícula de massa
move-se em uma dimensão na região
sob a ação da força
em que
e
são constantes. Quais são a posição de equilíbrio e o período de pequenas oscilações ao seu redor?
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma partícula de massa
que se move em uma dimensão para . - A força que age sobre ela é
em que
e
são constantes.
O que o enunciado pede:
- A posição de equilíbrio (valor de
onde a partícula pode ficar em repouso). - O período das pequenas oscilações em torno desse ponto de equilíbrio.
Passo 2
O que significa posição de equilíbrio?
- É um ponto
onde a força é zero: .
Vou aplicar isso à força dada.
Coloco
:
Como
e
não são zero, o que resta é
Multiplico por
(lembrando
):
Para
disso segue
Logo a posição de equilíbrio é
.
Passo 3
Agora vamos achar o período das pequenas oscilações ao redor de
. Primeiro explico a ideia física e matemática, passo a passo, como se estivesse na prova.
Ideia principal (linearização): para pequenas oscilações escrevemos
com
pequeno. Expandimos a força em torno de
até a ordem linear em
:
Como
(equilíbrio), ficamos com
. A equação do movimento
vira
Se isso for da forma
(com
), então
satisfaz uma equação harmônica e a frequência angular das pequenas oscilações é
Observação alternativa (potencial): se existir um potencial
tal que
, então para pequenas oscilações
. As duas fórmulas são equivalentes porque
.
Vou usar a rota direta pelo
(mais rápida), mas ambos chegam ao mesmo resultado.
Passo 4
Calcular
. Começo derivando a expressão dentro dos parênteses:
Portanto
Avalio em
:
Passo 5
Agora uso a fórmula da frequência angular das pequenas oscilações:
O período
é dado por
Também vale comentar (curta interpretação): como
, o ponto
é estável (pequenos deslocamentos produzem uma força restauradora para o ponto de equilíbrio). Em termos de potencial, integrando
obtém-se
e
, confirmando que é um mínimo e levando à mesma
acima.
Resposta
Posição de equilíbrio:
Período das pequenas oscilações:
Período das pequenas oscilações: