Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão na região x>0 sob a ação da força
F=-m \omega^{2}\left(x-\frac{a^{4}}{x^{3}}\right),
em que \omega e a são constantes. Quais são a posição de equilíbrio e o período de pequenas oscilações ao seu redor?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma partícula de massa m que se move em uma dimensão para x>0.
  • A força que age sobre ela é
F=-m \omega^{2}\!\left(x-\frac{a^{4}}{x^{3}}\right),
em que \omega e a são constantes.
O que o enunciado pede:
  • A posição de equilíbrio (valor de x onde a partícula pode ficar em repouso).
  • O período das pequenas oscilações em torno desse ponto de equilíbrio.

Passo 2

O que significa posição de equilíbrio?
  • É um ponto x_{0} onde a força é zero: F(x_{0})=0.
    Vou aplicar isso à força dada.
Coloco F=0:
0=-m\omega^{2}\!\left(x_{0}-\frac{a^{4}}{x_{0}^{3}}\right).
Como m e \omega^{2} não são zero, o que resta é
x_{0}-\frac{a^{4}}{x_{0}^{3}}=0.
Multiplico por x_{0}^{3} (lembrando x_{0}>0):
x_{0}^{4}=a^{4}.
Para x_{0}>0 disso segue
x_{0}=a.
Logo a posição de equilíbrio é \,x=a.

Passo 3

Agora vamos achar o período das pequenas oscilações ao redor de x=a. Primeiro explico a ideia física e matemática, passo a passo, como se estivesse na prova.
Ideia principal (linearização): para pequenas oscilações escrevemos x(t)=a+\xi(t) com \xi pequeno. Expandimos a força em torno de a até a ordem linear em \xi:
F(x)\approx F(a)+F'(a)\,\xi.
Como F(a)=0 (equilíbrio), ficamos com F\approx F'(a)\,\xi. A equação do movimento m\ddot{x}=F(x) vira
m\ddot{\xi}=F'(a)\,\xi.
Se isso for da forma m\ddot{\xi}=-m\Omega^{2}\xi (com \Omega^{2}>0), então \xi satisfaz uma equação harmônica e a frequência angular das pequenas oscilações é
\Omega=\sqrt{-\frac{F'(a)}{m}}.
Observação alternativa (potencial): se existir um potencial V(x) tal que F=-V'(x), então para pequenas oscilações \Omega=\sqrt{V''(a)/m}. As duas fórmulas são equivalentes porque V''(a)=-F'(a).
Vou usar a rota direta pelo F'(x) (mais rápida), mas ambos chegam ao mesmo resultado.

Passo 4

Calcular F'(x). Começo derivando a expressão dentro dos parênteses:
\frac{d}{dx}\!\left(x-\frac{a^{4}}{x^{3}}\right)=1+3\frac{a^{4}}{x^{4}}.
Portanto
F'(x)=-m\omega^{2}\!\left(1+3\frac{a^{4}}{x^{4}}\right).
Avalio em x=a:
F'(a)=-m\omega^{2}\!\left(1+3\frac{a^{4}}{a^{4}}\right)=-m\omega^{2}(1+3)=-4m\omega^{2}.

Passo 5

Agora uso a fórmula da frequência angular das pequenas oscilações:
\Omega=\sqrt{-\frac{F'(a)}{m}}=\sqrt{-\frac{-4m\omega^{2}}{m}}=\sqrt{4\omega^{2}}=2\omega.
O período T é dado por
T=\frac{2\pi}{\Omega}=\frac{2\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{\omega}.
Também vale comentar (curta interpretação): como F'(a)=-4m\omega^{2}<0, o ponto x=a é estável (pequenos deslocamentos produzem uma força restauradora para o ponto de equilíbrio). Em termos de potencial, integrando dV/dx=-F obtém-se
V(x)=m\omega^{2}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{a^{4}}{2x^{2}}\right)+\text{constante},
e V''(a)=4m\omega^{2}>0, confirmando que é um mínimo e levando à mesma \Omega acima.

Resposta

Posição de equilíbrio: x=a
Período das pequenas oscilações: T=\dfrac{\pi}{\omega}

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