Há 20 computadores em uma loja. Entre eles, 15 são novos e 5 são recondicionados. Seis computadores são adquiridos para um laboratório de alunos. À primeira vista, eles são indistinguíveis, então os seis computadores são selecionados aleatoriamente. Calcule a probabilidade de que, entre os computadores escolhidos, dois sejam recondicionados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 20 computadores no total.
  • Desses, 15 são novos e 5 são recondicionados.
  • São escolhidos aleatoriamente 6 computadores (sem reposição).
    O que se pede: calcular a probabilidade de que, entre os 6 computadores escolhidos, exatamente 2 sejam recondicionados.

Passo 2

Raciocínio combinatório (ideia geral): cada subconjunto de 6 computadores é igualmente provável. Para ocorrer exatamente 2 recondicionados precisamos:
  • escolher 2 recondicionados dentre os 5 disponíveis, e
  • escolher 4 novos dentre os 15 disponíveis.
    O número total de maneiras de escolher 6 computadores dentre 20 é \binom{20}{6}.
    Portanto a probabilidade procurada é
\frac{\binom{5}{2}\,\binom{15}{4}}{\binom{20}{6}}.

Passo 3

Explicando o que é \binom{n}{k}: é o número de combinações de k elementos escolhidos entre n, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Esse número conta conjuntos sem ordem (ordem não importa na seleção dos computadores).

Passo 4

Calcular \binom{5}{2}. Usando a fórmula simples ou simplificando:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 5

Calcular \binom{15}{4} com simplificações para não precisar de calculadora:
\binom{15}{4}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar passo a passo:
  • 12/(4\cdot3)=12/12=1,
  • sobra \dfrac{15\cdot14\cdot13}{2\cdot1}.
    Agora 14/2=7. Logo
\binom{15}{4}=15\cdot7\cdot13=15\cdot91=1365.

Passo 6

Calcular \binom{20}{6}. Usando fatoração e cancelamentos:
\binom{20}{6}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos úteis:
  • 20/5=4,
  • 18/6=3,
  • 16/4=4,
  • 15/3=5,
  • sobra dividir por 2 (do denominador) e por 1 (que não altera).
    Após esses cancelamentos temos no numerador 4\cdot19\cdot3\cdot17\cdot4\cdot5 e ainda precisamos dividir esse produto por 2. Calculando:
4\cdot19=76,\quad 76\cdot3=228,\quad 228\cdot17=3876,\quad 3876\cdot4=15504,\quad 15504\cdot5=77520.
Agora divide por 2: 77520/2=38760. Portanto
\binom{20}{6}=38760.

Passo 7

Montando a probabilidade com os números obtidos:
\Pr(\text{exatamente 2 recondicionados})=\frac{\binom{5}{2}\,\binom{15}{4}}{\binom{20}{6}}=\frac{10\cdot1365}{38760}=\frac{13650}{38760}.
Simplificando a fração: dividindo numerador e denominador por 30
\frac{13650}{38760}=\frac{455}{1292}.
Como fração final simplificada temos \dfrac{455}{1292}. Em decimal aproximado,
\dfrac{455}{1292}\approx 0,35217.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo: a probabilidade de tirar exatamente 2 recondicionados ao escolher aleatoriamente 6 computadores é cerca de 35{,}22\%. Bom trabalho — com esse tipo de problema, lembrar de pensar em “contar as maneiras favoráveis / contar todas as maneiras” resolve muitas questões de probabilidade sem reposição!

Resposta

\dfrac{455}{1292}\approx0,35217

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