Há 20 computadores em uma loja. Entre eles, 15 são novos e 5 são recondicionados. Seis computadores são adquiridos para um laboratório de alunos. À primeira vista, eles são indistinguíveis, então os seis computadores são selecionados aleatoriamente. Calcule a probabilidade de que, entre os computadores escolhidos, dois sejam recondicionados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
computadores no total. - Desses,
são novos e são recondicionados. - São escolhidos aleatoriamente
computadores (sem reposição).
O que se pede: calcular a probabilidade de que, entre oscomputadores escolhidos, exatamente sejam recondicionados.
Passo 2
Raciocínio combinatório (ideia geral): cada subconjunto de
computadores é igualmente provável. Para ocorrer exatamente
recondicionados precisamos:
- escolher
recondicionados dentre os disponíveis, e - escolher
novos dentre os disponíveis.
O número total de maneiras de escolhercomputadores dentre é .
Portanto a probabilidade procurada é
Passo 3
Explicando o que é
: é o número de combinações de
elementos escolhidos entre
, e vale
onde
(fatorial) é
. Esse número conta conjuntos sem ordem (ordem não importa na seleção dos computadores).
Passo 4
Calcular
. Usando a fórmula simples ou simplificando:
Passo 5
Calcular
com simplificações para não precisar de calculadora:
Podemos simplificar passo a passo:
-
, - sobra
.
Agora. Logo
Passo 6
Calcular
. Usando fatoração e cancelamentos:
Fazendo cancelamentos úteis:
-
, -
, -
, -
, - sobra dividir por
(do denominador) e por (que não altera).
Após esses cancelamentos temos no numeradore ainda precisamos dividir esse produto por . Calculando:
Agora divide por
:
. Portanto
Passo 7
Montando a probabilidade com os números obtidos:
Simplificando a fração: dividindo numerador e denominador por
dá
Como fração final simplificada temos
. Em decimal aproximado,
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo: a probabilidade de tirar exatamente
recondicionados ao escolher aleatoriamente
computadores é cerca de
. Bom trabalho — com esse tipo de problema, lembrar de pensar em “contar as maneiras favoráveis / contar todas as maneiras” resolve muitas questões de probabilidade sem reposição!