Circulação, campos conservativos e potenciais. (a) Considere o campo eletrostático
gerado por uma carga pontual
no vácuo. Nesse caso, sabemos que é possível obter esse campo vetorial a partir de um campo escalar cuja interpretação é de potencial eletrostático. Calcule a circulação de
ao longo de um caminho circular fechado, de raio
, centrado na posição da carga
(explore a simetria do problema e escolha o elemento de comprimento adequado).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a circulação do campo elétrico
de uma carga pontual
no vácuo, ao longo de um caminho fechado que é um círculo de raio
centrado na carga. Isso faz parte de “campos conservativos e potenciais” em eletrostática.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A expressão do campo de Coulomb
. - Entender que um campo conservativo tem integral de linha nula ao longo de caminho fechado.
- Escolher um elemento de comprimento de arco
adequado (em coordenadas polares, ).
Passo 2
Primeiro, lembra que o campo de uma carga pontual
no vácuo é
onde
é o vetor radial e
é a distância até a carga.
No nosso círculo de raio fixo , a gente parametriza o caminho em coordenadas polares:
No nosso círculo de raio fixo
O elemento de comprimento ao longo do círculo é tangencial e vale
Passo 3
Agora, pra calcular a circulação, avaliamos
Mas note que
e
são perpendiculares em todo ponto do círculo. Então
Isso já mostra que a integral inteira é zero. Alternativamente, como
vem de um potencial escalar
(
), sabemos que campos conservativos têm circulação nula em fechados: