Circulação, campos conservativos e potenciais. (a) Considere o campo eletrostático E(r) gerado por uma carga pontual q no vácuo. Nesse caso, sabemos que é possível obter esse campo vetorial a partir de um campo escalar cuja interpretação é de potencial eletrostático. Calcule a circulação de E(r) ao longo de um caminho circular fechado, de raio R, centrado na posição da carga q (explore a simetria do problema e escolha o elemento de comprimento adequado).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a circulação do campo elétrico de uma carga pontual no vácuo, ao longo de um caminho fechado que é um círculo de raio centrado na carga. Isso faz parte de “campos conservativos e potenciais” em eletrostática.
O que vamos precisar:
  • A expressão do campo de Coulomb .
  • Entender que um campo conservativo tem integral de linha nula ao longo de caminho fechado.
  • Escolher um elemento de comprimento de arco adequado (em coordenadas polares, ).

Passo 2

Primeiro, lembra que o campo de uma carga pontual E(r) = 14pivarepsilon0,qr^2,r, no vácuo é
ell(phi) = R,hat r(phi), phiin[0,2pi]
onde dell = R,dphi,hatphi é o vetor radial e é a distância até a carga.
No nosso círculo de raio fixo , a gente parametriza o caminho em coordenadas polares:
O elemento de comprimento ao longo do círculo é tangencial e vale

Passo 3

Agora, pra calcular a circulação, avaliamos
oint Ecdot dell = integral0^2pi l(14pivarepsilon0,qR^2,hat rr) cdot l(R,dphi,hatphir)
Mas note que hat rcdothatphi = 0 Longrightarrow Ecdot dell = 0 ;em cada pedaço do caminho e oint Ecdot dell = 0 são perpendiculares em todo ponto do círculo. Então
ç
Isso já mostra que a integral inteira é zero. Alternativamente, como vem de um potencial escalar ( ), sabemos que campos conservativos têm circulação nula em fechados:

Resposta

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