(9) O centro de massa \left(x_{c}, y_{c}\right) de uma região da forma A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x)\right\}, onde f e g são funções contínuas em [a, b] e tais que f(x) \leq g(x) em [a, b], é dado por
x_{c}=\frac{\int_{a}^{b} x[g(x)-f(x)] d x}{\operatorname{Área}(A)} \quad \text { e } \quad y_{c}=\frac{\frac{1}{2} \int_{a}^{b}[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)] d x}{\operatorname{Área}(A)}
Com tais informações, encontre o centro de massa da figura limitada pela reta y=1 e pela parábola y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa da região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : -1\le x\le1,\;x^2\le y\le1\}
Ou seja, temos f(x)=x^2, g(x)=1 em [a,b]=[-1,1]. Vamos usar as fórmulas
\text{Área}(A)=\int_{a}^{b}[g(x)-f(x)]\,dx,Á
x_c=\frac{\int_{a}^{b}x\,[g(x)-f(x)]\,dx}{\text{Área}(A)},Á
y_c=\frac{\tfrac12\int_{a}^{b}[g(x)-f(x)]\,[g(x)+f(x)]\,dx}{\text{Área}(A)}.Á

Passo 2

Calcular a área de A:
\text{Área}(A) =\int_{-1}^{1}[\,1 - x^2\,]\,dx =2\int_{0}^{1}(1 - x^2)\,dx =2\Bigl[x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2\bigl(1 - \tfrac13\bigr) =\tfrac{4}{3}.Á

Passo 3

Calcular x_c:
\int_{-1}^{1}x\,[1 - x^2]\,dx
é uma função ímpar em [-1,1], logo o integral é zero. Portanto
x_c = \frac{0}{\tfrac{4}{3}} = 0.

Passo 4

Calcular y_c:
\tfrac12\int_{-1}^{1}[1 - x^2][1 + x^2]\,dx =\tfrac12\int_{-1}^{1}(1 - x^4)\,dx =\tfrac12\cdot2\int_{0}^{1}(1 - x^4)\,dx =\int_{0}^{1}(1 - x^4)\,dx =\Bigl[x - \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} =1 - \tfrac15 =\tfrac{4}{5}.
Logo
y_c = \frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{4}{3}} = \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle\bigl(x_c,y_c\bigr)=\bigl(0,\tfrac{3}{5}\bigr)

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