3^{\text {a }} Questão:(20 pontos) Calcule as integrais a seguir:
\int_{1}^{e} \frac{\ln \left(x^{2}\right)}{x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções logarítmicas, exigindo uso de propriedades de logaritmo e conhecimento da primitiva de \tfrac{\ln x}{x}.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de logaritmo
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln x,
de modo que o integrando fica
\displaystyle \frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}=2\,\frac{\ln x}{x}.

Passo 3

Reescrevemos a integral como
\int_{1}^{e}\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}\,dx =2\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx.

Passo 4

Sabemos que uma primitiva de \tfrac{\ln x}{x} é
\frac{1}{2}\bigl(\ln x\bigr)^{2},
pois ao derivar \tfrac12(\ln x)^{2} obtemos \ln x\cdot\tfrac1x.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
2\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx =2\Bigl[\tfrac12(\ln x)^{2}\Bigr]_{1}^{e} =\bigl(\ln x\bigr)^{2}\Big|_{1}^{e} =(\ln e)^{2}-(\ln 1)^{2} =1-0 =1.

Resposta

1

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