3^{\text {a }} Questão:(20 pontos) Calcule as integrais a seguir:
\int \operatorname{sen}^{2}(x) \cos ^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \sin^2(x)\cos^3(x)\,dx. Isso faz parte do conteúdo de técnicas de integração de potências de funções trigonométricas. Para resolver, usaremos a identidade \cos^2(x)=1-\sin^2(x) e em seguida faremos a substituição u=\sin(x).

Passo 2

Reescrevemos \cos^3(x) como \cos^2(x)\cos(x). Assim,
\sin^2(x)\cos^3(x) =\sin^2(x)\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cos(x).

Passo 3

Fazendo a substituição
u = \sin(x),\qquad du = \cos(x)\,dx,
a integral passa a ser
\int \sin^2(x)\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cos(x)\,dx = \int u^2\,(1-u^2)\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando em u:
u^2\,(1-u^2)=u^2 - u^4.
Logo,
\int \bigl(u^2 - u^4\bigr)\,du = \int u^2\,du \;-\;\int u^4\,du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sin(x), obtemos
\frac{\sin^3(x)}{3} \;-\;\frac{\sin^5(x)}{5} + C.

Resposta

\boxed{\frac{\sin^3(x)}{3} - \frac{\sin^5(x)}{5} + C}

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