O centro de massa \left(x_{c}, y_{c}, z_{c}\right) é definido por
x_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} x d m, \quad y_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} y d m, \quad z_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} z d m
\operatorname{com} M=\iint_{\sigma} d m e d m=f(x, y, z) d \sigma. Uma chapa fina \sigma pode ser parametrizada por x=u, u=v e z=u+2 v, com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1. Considerando f(x, y, z)=x y z, calcule a posição do centro de massa.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a posição do centro de massa \left(x_{c},y_{c},z_{c}\right) de uma chapa fina \sigma cuja densidade superficial é dada por f(x,y,z)=x y z. As fórmulas fornecidas são
x_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} x\,d m,\qquad y_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} y\,d m,\qquad z_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} z\,d m,
com
M=\iint_{\sigma} d m,\qquad d m=f(x,y,z)\,d\sigma.
A chapa é parametrizada pelas variáveis (u,v) segundo (interpreto o enunciado como)
x=u,\qquad y=v,\qquad z=u+2v,
com o domínio de parâmetros
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le 1.
Portanto as informações relevantes que vou usar são: a densidade f(x,y,z)=x y z, a parametrização \mathbf{r}(u,v)=(u,v,u+2v) e o domínio unitário [0,1]\times[0,1] em (u,v). A partir disso calcularei d\sigma a partir do comprimento do produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v, construirei d m=f\,d\sigma em termos de u,v e avaliarei as integrais necessárias.
Passo 2
Explicar como transformar as integrais de superfície em integrais duplas em (u,v).
Quando uma superfície é parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a área elemento é