O centro de massa \left(x_{c}, y_{c}, z_{c}\right) é definido por
x_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} x d m, \quad y_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} y d m, \quad z_{c}=\frac{1}{M} \iint_{\sigma} z d m
\operatorname{com} M=\iint_{\sigma} d m e d m=f(x, y, z) d \sigma. Uma chapa fina \sigma pode ser parametrizada por x=u, u=v e z=u+2 v, com 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1. Considerando f(x, y, z)=x y z, calcule a posição do centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a posição do centro de massa \left(x_{c},y_{c},z_{c}\right) de uma chapa fina \sigma cuja densidade superficial é dada por f(x,y,z)=x y z. As fórmulas fornecidas são
x_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} x\,d m,\qquad y_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} y\,d m,\qquad z_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} z\,d m,
com
M=\iint_{\sigma} d m,\qquad d m=f(x,y,z)\,d\sigma.
A chapa é parametrizada pelas variáveis (u,v) segundo (interpreto o enunciado como)
x=u,\qquad y=v,\qquad z=u+2v,
com o domínio de parâmetros
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le 1.
Portanto as informações relevantes que vou usar são: a densidade f(x,y,z)=x y z, a parametrização \mathbf{r}(u,v)=(u,v,u+2v) e o domínio unitário [0,1]\times[0,1] em (u,v). A partir disso calcularei d\sigma a partir do comprimento do produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v, construirei d m=f\,d\sigma em termos de u,v e avaliarei as integrais necessárias.

Passo 2

Explicar como transformar as integrais de superfície em integrais duplas em (u,v).
Quando uma superfície é parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a área elemento é
d\sigma=\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v. O massa elemento fica
d m=f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv.
Por fim, cada integral \iint_{\sigma}(\cdot)\,d m vira uma integral dupla sobre o quadrado 0\le u,v\le 1 com o integrando escrito em termos de u,v.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v, o produto vetorial e seu módulo.
A parametrização é \mathbf{r}(u,v)=(u,v,u+2v). Então
\mathbf{r}_u=(1,0,1),\qquad \mathbf{r}_v=(0,1,2).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1,\,0,\,1).
O módulo é
\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
Observe que esse módulo é constante no domínio, o que simplifica os cálculos: d\sigma=\sqrt{2}\,du\,dv.

Passo 4

Expressar d m em termos de u,v e montar a integral para a massa total M.
A densidade f(x,y,z)=x y z em termos de u,v fica
f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)=u\cdot v\cdot (u+2v)=u v (u+2v).
Portanto
d m = f(\mathbf{r}(u,v))\,d\sigma = u v (u+2v)\,\sqrt{2}\,du\,dv.
A massa total é
M=\iint_{\sigma} d m = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} u v (u+2v)\,dv\,du.

Passo 5

Calcular a integral para M passo a passo.
Primeiro expandir o integrando:
u v (u+2v)=u^{2}v+2u v^{2}.
Integrando em v de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\big(u^{2}v+2u v^{2}\big)\,dv = u^{2}\int_{0}^{1}v\,dv + 2u\int_{0}^{1}v^{2}\,dv = u^{2}\cdot\frac{1}{2} + 2u\cdot\frac{1}{3} = \frac{u^{2}}{2}+\frac{2u}{3}.
Agora integrar em u de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{u^{2}}{2}+\frac{2u}{3}\right)du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
Multiplicando pelo fator \sqrt{2},
M=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Montar e calcular o numerador para x_c: \iint_{\sigma} x\,d m.
Usamos x=u. Então o integrando é x\,d m = u\cdot\big(u v (u+2v)\sqrt{2}\big)=\sqrt{2}\big(u^{3}v+2u^{2}v^{2}\big). Assim
\iint_{\sigma} x\,d m = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big(u^{3}v+2u^{2}v^{2}\big)\,dv\,du.
Calcule a integral em v:
\int_{0}^{1}\big(u^{3}v+2u^{2}v^{2}\big)\,dv = u^{3}\cdot\frac{1}{2} + 2u^{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{u^{3}}{2} + \frac{2u^{2}}{3}.
Agora integrar em u:
\int_{0}^{1}\left(\frac{u^{3}}{2} + \frac{2u^{2}}{3}\right)du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{8} + \frac{2}{9} = \frac{25}{72}.
Multiplicando por \sqrt{2},
\iint_{\sigma} x\,d m = \sqrt{2}\cdot\frac{25}{72}.
Então
x_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} x\,d m = \frac{\sqrt{2}\,\tfrac{25}{72}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{25}{72}\cdot 2 = \frac{25}{36}.

Passo 7

Montar e calcular o numerador para y_c: \iint_{\sigma} y\,d m.
Usamos y=v. O integrando é y\,d m = v\cdot\big(u v (u+2v)\sqrt{2}\big)=\sqrt{2}\big(u^{2}v^{2}+2u v^{3}\big). Então
\iint_{\sigma} y\,d m = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big(u^{2}v^{2}+2u v^{3}\big)\,dv\,du.
Integral em v:
\int_{0}^{1}\big(u^{2}v^{2}+2u v^{3}\big)\,dv = u^{2}\cdot\frac{1}{3} + 2u\cdot\frac{1}{4} = \frac{u^{2}}{3} + \frac{u}{2}.
Integral em u:
\int_{0}^{1}\left(\frac{u^{2}}{3} + \frac{u}{2}\right)du = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{13}{36}.
Multiplicando por \sqrt{2},
\iint_{\sigma} y\,d m = \sqrt{2}\cdot\frac{13}{36}.
Logo
y_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} y\,d m = \frac{\sqrt{2}\,\tfrac{13}{36}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{13}{36}\cdot 2 = \frac{13}{18}.

Passo 8

Montar e calcular o numerador para z_c: \iint_{\sigma} z\,d m.
Aqui z=u+2v. Então
z\,d m = (u+2v)\cdot\big(u v (u+2v)\sqrt{2}\big)=\sqrt{2}\,u v (u+2v)^{2}.
Expandir (u+2v)^{2}=u^{2}+4u v+4v^{2}. Assim o integrando é
\sqrt{2}\big(u^{3}v+4u^{2}v^{2}+4u v^{3}\big).
Portanto
\iint_{\sigma} z\,d m = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big(u^{3}v+4u^{2}v^{2}+4u v^{3}\big)\,dv\,du.
Integrar em v:
\int_{0}^{1}\big(u^{3}v+4u^{2}v^{2}+4u v^{3}\big)\,dv = u^{3}\cdot\frac{1}{2} + 4u^{2}\cdot\frac{1}{3} + 4u\cdot\frac{1}{4} = \frac{u^{3}}{2} + \frac{4u^{2}}{3} + u.
Integrar em u:
\int_{0}^{1}\left(\frac{u^{3}}{2} + \frac{4u^{2}}{3} + u\right)du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{4}{9} + \frac{1}{2}.
Somando com denominador comum 72:
\frac{1}{8}+\frac{4}{9}+\frac{1}{2}=\frac{9+32+36}{72}=\frac{77}{72}.
Multiplicando por \sqrt{2},
\iint_{\sigma} z\,d m = \sqrt{2}\cdot\frac{77}{72}.
Finalmente
z_{c}=\frac{1}{M}\iint_{\sigma} z\,d m = \frac{\sqrt{2}\,\tfrac{77}{72}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{77}{72}\cdot 2 = \frac{77}{36}.

Resposta

x_{c}=\dfrac{25}{36}
y_{c}=\dfrac{13}{18}
z_{c}=\dfrac{77}{36}

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