(3 Pontos) Cada integral da coluna esquerda é igual a apenas uma integral da coluna direita. Indique na coluna direita qual delas e escreva ao lado a substituị̧ão usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\\ \mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \end{array}\right.
  • Considere a>0 como sendo constante qualquer em todas as integrais.
  1. \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}} d x.
    [\quad] \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \mathrm{~d} u.
  2. \int \cos ^{2}(x) \sin (x) d x.
    [ ] \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u} \mathrm{~d} u.
  3. \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x.
    [ ] \frac{1}{a} \int \frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u.
  4. \int \sin ^{2}(x) \cos (x) d x.
    [] \int u^{2} \mathrm{~d} u.
  5. \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x.
    [ ] -\int u^{2} \mathrm{~d} u.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Cada integral da coluna esquerda deve ser associada exatamente a uma integral da coluna direita.
  • Ao lado da correspondente, escrever a substituição usada no formato
\left\{\begin{array}{l} u=f(x)\\[4pt] \mathrm{d}u=f'(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Informações dadas (pegar do enunciado):
  • Considere a>0 constante.
  • Integrais da coluna esquerda:
    1. \displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,\mathrm{d}x.
    2. \displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x.
    3. \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
    4. \displaystyle \int \sin^{2}(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x.
    5. \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
  • Integrais disponíveis na coluna direita (escritas tal como no enunciado):
    • \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.
    • \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,\mathrm{d}u.
    • \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u.
    • \displaystyle \int u^{2}\,\mathrm{d}u.
    • \displaystyle -\int u^{2}\,\mathrm{d}u.]

Passo 2

Resolver a integral 1: \displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: o denominador é a+x^{3} e o numerador contém x^{2}, que é a derivada (até constante) de x^{3}. Então uma substituição que faça u=a+x^{3} deve simplificar.
Fazer a substituição em detalhe:
\left\{\begin{array}{l} u=a+x^{3}\\[4pt] \mathrm{d}u=3x^{2}\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Isolando x^{2}\,\mathrm{d}x: \;x^{2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u.
Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,\mathrm{d}x =\int \frac{1}{u}\cdot\left(\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u\right) =\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.
Portanto a integral 1 transforma-se exatamente em \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]

Passo 3

Resolver a integral 2: \displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: aparece \sin(x)\,\mathrm{d}x multiplicando uma função de \cos(x). Uma boa escolha é u=\cos(x), porque a derivada de \cos(x) envolve -\sin(x).
Fazer a substituição em detalhe:
\left\{\begin{array}{l} u=\cos(x)\\[4pt] \mathrm{d}u=-\sin(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Isolando \sin(x)\,\mathrm{d}x: \;\sin(x)\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u.
Substituindo:
\int \cos^{2}(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x =\int u^{2}\cdot(-\mathrm{d}u) =-\int u^{2}\,\mathrm{d}u.
Logo a integral 2 transforma-se em -\displaystyle\int u^{2}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]

Passo 4

Resolver a integral 3: \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: queremos obter a forma \displaystyle \frac{1}{1+u^{2}}. Tomar u=\dfrac{x}{a} faz x=a u e fator comum a^{2} no denominador.
Fazer a substituição em detalhe:
\left\{\begin{array}{l} u=\dfrac{x}{a}\\[6pt] \mathrm{d}u=\dfrac{1}{a}\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Isolando \mathrm{d}x: \;\mathrm{d}x=a\,\mathrm{d}u.
Reescrever o denominador: a^{2}+x^{2}=a^{2}(1+u^{2}).
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x =\int \frac{1}{a^{2}(1+u^{2})}\cdot(a\,\mathrm{d}u) =\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u.
Portanto a integral 3 transforma-se em \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]

Passo 5

Resolver a integral 4: \displaystyle \int \sin^{2}(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: aqui aparece \cos(x)\,\mathrm{d}x multiplicando uma função de \sin(x). Escolher u=\sin(x) simplifica.
Fazer a substituição em detalhe:
\left\{\begin{array}{l} u=\sin(x)\\[4pt] \mathrm{d}u=\cos(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Substituindo:
\int \sin^{2}(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x =\int u^{2}\,\mathrm{d}u.
Logo a integral 4 transforma-se em \displaystyle \int u^{2}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]

Passo 6

Resolver a integral 5: \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: o denominador é 1+x^{2} e o numerador tem x^{3}=x^{2}\cdot x. Se definirmos u=1+x^{2}, então x\,\mathrm{d}x aparece na diferencial, permitindo reduzir o integrando.
Fazer a substituição em detalhe:
\left\{\begin{array}{l} u=1+x^{2}\\[4pt] \mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
Isolando x\,\mathrm{d}x: \;x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u.
Escrever x^{3}\,\mathrm{d}x = x^{2}\cdot x\,\mathrm{d}x = (u-1)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u\right).
Substituindo na integral:
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x =\int \frac{u-1}{u}\cdot\left(\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\right) =\frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,\mathrm{d}u.
Portanto a integral 5 transforma-se em \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]

Resposta

  1. \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u
\left\{\begin{array}{l} u=a+x^{3}\\[4pt] \mathrm{d}u=3x^{2}\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
  1. -\displaystyle\int u^{2}\,\mathrm{d}u
\left\{\begin{array}{l} u=\cos(x)\\[4pt] \mathrm{d}u=-\sin(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
  1. \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u
\left\{\begin{array}{l} u=\dfrac{x}{a}\\[6pt] \mathrm{d}u=\dfrac{1}{a}\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
  1. \displaystyle \int u^{2}\,\mathrm{d}u
\left\{\begin{array}{l} u=\sin(x)\\[4pt] \mathrm{d}u=\cos(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\right.
  1. \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,\mathrm{d}u
\left\{\begin{array}{l} u=1+x^{2}\\[4pt] \mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x \end{array}\right.]

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