(3 Pontos) Cada integral da coluna esquerda é igual a apenas uma integral da coluna direita. Indique na coluna direita qual delas e escreva ao lado a substituị̧ão usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\\ \mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \end{array}\right.
Considere a>0 como sendo constante qualquer em todas as integrais.
\int \frac{x^{2}}{a+x^{3}} d x. [\quad] \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \mathrm{~d} u.
\int \cos ^{2}(x) \sin (x) d x.
[ ] \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u} \mathrm{~d} u.
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x.
[ ] \frac{1}{a} \int \frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u.
\int \sin ^{2}(x) \cos (x) d x.
[] \int u^{2} \mathrm{~d} u.
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x.
[ ] -\int u^{2} \mathrm{~d} u.
Passo 1
O que o exercício pede:
Cada integral da coluna esquerda deve ser associada exatamente a uma integral da coluna direita.
Ao lado da correspondente, escrever a substituição usada no formato
Resolver a integral 1: \displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: o denominador é a+x^{3} e o numerador contém x^{2}, que é a derivada (até constante) de x^{3}. Então uma substituição que faça u=a+x^{3} deve simplificar.
Portanto a integral 1 transforma-se exatamente em \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]
Passo 3
Resolver a integral 2: \displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: aparece \sin(x)\,\mathrm{d}x multiplicando uma função de \cos(x). Uma boa escolha é u=\cos(x), porque a derivada de \cos(x) envolve -\sin(x).
Logo a integral 4 transforma-se em \displaystyle \int u^{2}\,\mathrm{d}u com a substituição acima.]
Passo 6
Resolver a integral 5: \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Motivação da substituição: o denominador é 1+x^{2} e o numerador tem x^{3}=x^{2}\cdot x. Se definirmos u=1+x^{2}, então x\,\mathrm{d}x aparece na diferencial, permitindo reduzir o integrando.